Đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014
Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$
Từ giả thiết ta có BDT tương đương
$$P=\frac{{b}^{2}{c}^{2}}{ab+ac}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{bc+ba}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{ca+cb}\left ( 1 \right )$$
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta
$$\left ( 1 \right )\geq \frac{\left {( ab+bc+ca \right )}^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )}=\frac{ab+bc+ca }{2}\geq \frac{3}{2}$$
(Sử dụng Côsi)
Đẳng thức xảy ra khi: $$a=b=c=1$$