Tsubasa

hay quá :3

$\left ( 1+x \right )^2 = (1+\sqrt {xy}.\frac{\sqrt x}{\sqrt y})^2\leqslant (1+xy)(1+\frac{x}{y})$

$\Rightarrow \frac{1}{( 1+x)^2}\geqslant \frac{y}{(1+xy)(x+y)} (1)$

Tương tự: $\frac{1}{( 1+y)^2}\geqslant \frac{x}{(1+xy)(x+y)} (2)$

Cộng (1) và (2) theo vế => đpcm

$\frac{1}{x^3}+1+1\geqslant \frac{3}{x}$

$\frac{1}{y^3}+1+1\geqslant \frac{3}{y}$

$\frac{1}{z^3}+1+1\geqslant \frac{3}{z}$ 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\geqslant \frac{9}{x+2y}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{9}{y+2z}$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\geqslant \frac{9}{z+2x}$

=> đpcm

$a-\frac{a^3}{a^2+b^2}= \frac{ab^2}{a^2+b^2}\leqslant \frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\Rightarrow \frac{a^3}{a^2+b^2}\geqslant a-\frac{b}{2}$

Tương tự: $\frac{b^3}{b^2+c^2}\geqslant b-\frac{c}{2}$

                 $\frac{c^3}{c^2+a^2}\geqslant c-\frac{a}{2}$

Cộng các bất đẳng thức theo vế => đpcm