gk25dtm

 Chứng minh các đẳng thức sau:

$1 + {2012 \choose 1} + {2012 \choose 2} + \dots + {2012 \choose 2010} + {2012 \choose 2011} + 1 = 2^{2012}$            (*)

 

$1 + {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} + \dots + {2012 \choose 2010} + 1=2^{2011}$                                                        (**)

 

${2012 \choose 1} + {2012 \choose 3} + \dots + {2012 \choose 2009} + {2012 \choose 2011} = 2^{2011}$                         (***)

trừ vế theo vế của (*) cho (**) ta được (***)

 

 

$1 + {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} + \dots + {2012 \choose 2010} + 1=2^{2011}$

 

ta có $0^{2012}=(1-1)^{2012}=\sum_{k=0}^{2012}(-1)^{k}\binom{2012}{k}$

cộng vế theo vế với đẳng thức đầu tiên , rồi chia 2 ta được đpcm

Ta có $2^{2012}=( 1+1 )^{2012}=\sum_{k=0}^{2012} \binom{2012}{k}$

tóm lại là điểm chác bài này ntn hả BTC ?

Quy ước : đường xuất phát từ thành phố X đến thành phố Y gọi là đường đi đối với thành phố X và là đường kết đối với thành phố Y ( X đi , Y kết ) .

 

Lời giải :

Ta xét thành phố H có nhiều đường đi nhất ( giả sử có $x$ đường đi và $y$ đường kết thì có $x$ thành phố kết , $y$ thành phố đi) .

Theo giả thiết thì trong hai thành phố bất kỳ mà H đi  ( hoặc kết ) thì không có con đường nào nối .

Chọn một thành phố mà H đi và một thành phố mà H kết thì giữa chúng có thể có ( một và chỉ một ) đường nối nên số đường nhiều nhất tạo được là $xy$ .

Bây giờ ta xét một trong $z$ thành phố mà không có đường đi và kết H thì có thể xây tối đa $x+y$ đường nối nên số đường nhiều nhất là $z(x+y)$

Tổng số đường xây nhiều nhất là $A=x+y+xy+z(x+y)$ và thêm đó $x+y+z+1=210$

Theo BDT quen thuộc : $A=xy+y(z+1)+(z+1)x\leq \frac{(x+y+z+1)^2}{3}=\frac{210^3}{3}$

Dấu bằng xảy ra với cách xây như sau : có 3 nhóm thành phố A,B,C , mỗi nhóm 70 . Mối thành phố ở nhóm A có đường đi tới thành phố nhóm B , mối thành phố ở nhóm B có đường đi tới mỗi thành phố nhóm C và mối thành phố ở nhóm C có đường đi tới thành phố nhóm A .

chỗ tô đỏ sai