LucVyVy

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp:
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho:
Đưa phương trình về dạng sau:
$$ \sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x$$
khi đó:
Đặt $ \sqrt{f(x)} = t , t > 0 $. Phương trình viết thành:
$$ t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0$$
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình $ \sqrt{f(x)} = t$ sau khi đã đơn giản hóa và kết luận:

Ví dụ 10: Giải phương trình:
$$ 2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16},\,\,\ (1)$$
Lời giải:
ĐK: $ |x| \leq 2$
$(1) \Leftrightarrow 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16$
$\Leftrightarrow 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x$
Đặt $ t = \sqrt{2(4 - x^2)}$. Lúc đó phương trình trở thành:
$$ 4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0$$
Giải phương trình trên với ẩn $t$, ta tìm được:
$$ t_1 = \dfrac{x}{2} ; t_2 = - \dfrac{x}{2} - 4$$
Do $ |x| \leq 2$ nên $ t_2 < 0$ không thỏa điều kiện $ t \geq 0$ .
Với $ t = \dfrac{x}{2}$ thì:
$$ \sqrt{2(4 - x^2)} = \dfrac{x}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ 8\left( {4 - x^2 } \right) = x^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{4\sqrt{2} }{3}$$ (thỏa mãn điều kiên $ |x| \leq 2$)

Ví dụ 11: Giải phương trình:
$$ x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36$$
Lời giải:
ĐK: $ x \geq - 1$
Đặt $ t = \sqrt{x + 1} \geq 0$, phương trình đã cho trở thành:
$$ x.t^2 + 12u - 36 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{-6 \pm 6t }{x}$$
* Với $ t = \dfrac{-6 - 6t }{x}$ , ta có:
$$ (x + 6)t = - 6 $$
(vô nghiệm vì: $ VT \geq 0 ; VP < 0$)
* Với $ t = \dfrac{-6 + 6t }{x}$ , ta có:
$$ 6 = (6 - x)t$$
Do $ x = 6$ không là nghiệm của phương trình nên:
$$ t = \dfrac{6}{6 - x}\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} = \dfrac{6}{6 - x}$$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được: $ x = 3$ (thỏa mãn)
Bạn hãy tự giải phương trình dạng tổng quát:
$$ x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2$$

cho mình hỏi tai sao ở vd 10 mình tính denta ko có dạng bình phương vậy làm thế nào để ra được nghiệm t vậy ?? cám ơn bạn