wings106

Bài 6:
Ta có : $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2008}{y^2}+\dfrac{2009}{z^2} = (\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2})+2008(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} ) $

Từ $ 2y+3z \geq 6 <=> 4y^2+9z^2 \geq 18 <=> 1+\dfrac{9z^2}{4y^2} \geq \dfrac{9}{2y^2} <=> \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} \geq \dfrac{2}{y^2} $

Ta có : $ \dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} = \dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{2}{y^2} + \dfrac{1}{z^2}(1-\dfrac{z^2}{y^2}) \leq \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} +1 - \dfrac{z^2}{y^2} = \dfrac{13}{9} $

Đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; y= \dfrac{3}{2} $

Tương tự ta cũng có $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}\leq \dfrac{850}{729} $

Và đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; x= \dfrac{27}{11} $ . (**)

Từ và (**) ta có : $\ max P(x,y,z)=\dfrac{2115274}{729}$.

Đẳng thức xảy ra $\ x=\dfrac{27}{11};y=\dfrac{3}{2};z=1$.

Sao $ \dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} = \dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{y^2} được vậy a?  Và còn  $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}\leq \dfrac{850}{729} $  nữa