bacninhquehuongtoi

Ta có $-1< a;b;c< 1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right ) \left ( 1+c \right )> 0& \\ \left ( 1-a\right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} abc+ab+bc+ca+a+b+c+1> 0 & \\ 1-abc+ab+bc+ca-a-b-c> 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2+ab+bc+ca> 0 \Rightarrow 2+\left ( a+b+c \right )^{2}> a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Mà  a+b+c=0 nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}< 2$

Cho các số thực thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$E=y^5+2x$$

Từ $x^{2}+y^{2}= 1 \Rightarrow y^{2}\leq 1\Rightarrow \left | y \right |\leq 1$

Mặt khác $y^{5}\leq \left | y \right |^{5}$

Do đó $\left | y \right |^{5}\leq y^{2}$

Và $2x\leq x^{2}+1$

Nên E=$y^{5}+2x\leq y^{2}+x^{2}+1=2$

Dấu = xảy ra khi x=1;y=0

Kẻ Ax tiếp tuyến của (O) tại A

Khi đó ta có $\measuredangle xAB= \measuredangle ACB$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cùng 1 cung)

Từ giả thiết ta có tứ giác BEDC nội tiếp nên $\measuredangle AEB=\measuredangle ACB$

Do đó $\measuredangle xAB= \measuredangle AEB$ nên Ax song song ED

nên AO vuông góc DE

Trong một hộp  có chứa 2011 viên bi màu ( mỗi viên bi có đúng 1 màu)  ,trong đó có 655 viên bi màu đỏ  ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu  tím  và 45 viên bi còn lại  là viên bi màu vàng hoặc màu trắng ( mỗi màu ít nhất 1 viên). Người ta lấy ra từ hộp 178 viên bi bất kì .Chứng minh rằng trong số các viên bi lấy ra  luôn có ít nhất  45 viên bi cùng màu  .Nếu người ta chỉ lấy ra 177 viên bi  bất kì thì kết quả bài toán còn đúng không ?

 Gọi x;y;z lần lượt là số bi có màu đỏ, màu vàng, màu tím trong một lần lấy. Số bi có màu khác ba màu trên nhỏ hơn hoặc bằng 45.

Vì vậy x+y+z lớn hơn hoặc bằng 178-45=133, vì x;y;z là số tự nhiên. Nếu x<45;y<45;z<45 thì x+y+z nhỏ hơn hoặc bằng 132. Mâu thuẫn.

Vậy trong 3 số x;y;z phải có 1 số lớn hơn hoặc bằng 45. Bài toán được chứng minh.

Nếu chỉ lấy 177 viên, kết luận có thể sai. Chẳng hạn x=y=z=44 và 45 viên bi màu khác thì tổng số viên bi là 177 viên. Nhưng vì có 45 viên bi gồm 2 màu vàng và trắng mà số bi mỗi màu lớn hơn hoặc bằng 1 nên không có quá 44 viên bi cùng màu trong lần lấy này

Ta có:

$2B=2x^{2}+2y^{2}+2xy-6x-6y+2.2013^{2014}$

      $=(x-y)^{2}+(x-3)^2+(y-3)^2+2.2013^{2014}-18\geq 2.2013-18$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=3. vậy $x_{0}+y_{0}=3+3=6$

chỗ tô màu đỏ của bạn hình như sai rồi thì phải

bài này mình nghĩ x₀ =y₀ =1