Silent Night

Bài này đã có giải ở đây : http://diendantoanho...i2mk2-nhỏ-nhất/

Xét $x=0$ ta có $y=1$ hoặc $y=-1$

Ta cần chứng minh các trường hợp còn lại không có nghiệm

Xét $x>0$ có $x^6 + 2x^3 + 1 < x^6 + 3x^3 + 1 < x^6 + 4x^3 + 4$ (do $x>0$ nên $x^3>0$)

               hay $(x^3+1)^2 < y^4 < (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Xét $x<0$ 

                Với $x=-1$ không thoả mãn.

                Với $x\leq -2$ thì $x^6 + 2x^3 + 1 > x^6 + 3x^3 + 1 > x^6 + 4x^3 + 4$

                                     hay $(x^3+1)^2 > y^4 > (x^3+2)^2$ (vô lí do $y\epsilon \mathbb{Z}$)

Vậy ..........

Cái jề thế này.........................................................................

Vote cho Crazy 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a(b+a)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

$y$ là gì hả bạn ?

$x=\sqrt[3]{3b-1+b\sqrt{8b-3}}$

$y=\sqrt[3]{3b-1-b\sqrt{8b-3}}$

Gọi số cần tìm là $a$

Theo bài ra ta có: $a+\frac{1}{a}=4,25$

                             $\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{a}=\frac{17}{4}$

                             $\Rightarrow 4a^2+4=17a$

                             $\Leftrightarrow 4a^2-17a+4=0$

Giải pt có $a=4$

Số đo cung bằng 90 độ $\Rightarrow S_{vp}=\frac{1}{4}S= \frac{7^{2}\Pi}{4}$(đvdt) (với $S$ là diện tích hình tròn bán kính 7)

[diện tích hình viên phân không phải viên phấn nha bạn] 

Áp dụng AM - GM :

$c(6-c)=c(a+b)=ac+bc\geq 9-\frac{(a+b)^{2}}{2}=\frac{36-(6-c)^{2}}{2}$

$\Rightarrow c\leq 4$

Dấu '' = '' ko xảy ra do $a<b \Rightarrow c<4$

Ta có $(b-a)(b-c)<0$

          $\Rightarrow b^2+9<2b(a+c)=2b(6-b)$

hay    $(b-1)(b-3)<0$

hay    $1<b<3$

Cmtt có: $(a-1)(a-3)>0$ và $(c-1)(c-3)>0$

Do $c>b>1$ nên $c>3$

Do $a<b<3$ nên $a<1$

Vậy $0<a<1<b<3<c<4$

Đây là lời giải của mình mong có lời giải khác hay hơn. 

Đặt $AB=c$ ; $AB=b$

Kẻ đường cao $AH$

Xét $\Delta ABH$ vuông có $\widehat{B}=60^{\circ}$ nên $BH=\frac{1}{2}c$ 

$\Rightarrow HC=5-\frac{1}{2}c$

Theo Pytago tính đc $AH=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Tiếp tục áp dụng định lí Pytago cho $\Delta AHC$ có :

$b^2=(\frac{c\sqrt{3}}{2})^2+(5-c)^2=25-10c-\frac{1}{4}c^2$

Mà $b+c=12\Rightarrow b=12-c$

Thay vào ta đc: $(12-c)^2=25-10c+\frac{7}{4}c^2$

Giải pt tìm đc $c$

trường hợp $x^3+x^2y-5=0$ giải thế nào vậy bạn? Mình bị vướng từ đấy.

$x^3+x^2y-5=0$ $(3)$

Từ hệ $\Rightarrow x,y\leq \frac{6}{5}$ $\Rightarrow x^3+x^2y-5\leq 2(\frac{6}{5})^{3}-5< 0$ 

         $\Rightarrow$ pt $(3)$ vô nghiệm.

Giờ thì xét $x=y$ để tìm nghiệm.

Xét $x=0$ $\Rightarrow y=\frac{6}{5}$

Xét $x=y$ ta có: $y^4 +5y-6=0$

                          $\Leftrightarrow x=y=1$ hoặc $x=y=-2$

Xét $x=-y$ ta có $-x=y=1$ hoặc $-x=y=-2$

Kết luận:...

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+5y=6\\ x^2y^2+5y=6 \end{matrix}\right.$

 $\left\{\begin{matrix} x^4+5y=6\\ x^2y^2+5y=6 \end{matrix}\right.$

Trừ theo từng vế $(1)$ cho $(2)$ ta đc:

$x^{2}(x^{2}-y^{2})=0$

$\Leftrightarrow x^2(x-y)(x+y)=0$

$\Leftrightarrow x^2=0$; $x=y$ hoặc $x=-y$

Xét từng trường hợp để tìm nghiệm.

Vẽ trên phần mềm  Geometer's Sketchpad

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=6$; $ab+bc+ca=9$; $a<b<c$. Chứng minh rằng: $0<a<1<b<3<c<4$

Tứ giác OECF nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EOF}=180^{\circ}-\widehat{C}=150^{\circ}$

                                    $\Rightarrow$ số đo cung EF nhỏ là $150^{\circ}$