Silent Night

câu 2 

1.

$x\geq m (x^{2}+4x+3)\sqrt{x-m}=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+4x+3=0 & \\ \sqrt{x-m}=0 & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 & & \\ x=-3 & & \\ x=m & & \end{bmatrix}$

 ta thấy pt có 3 nghiệm là $x=-1;x=-3;x=m$

Vậy để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $m$ phải có giá trị bằng -1 hoặc -3

câu 3

1.

$x\geq -3$

$\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+3} & \\ b=\sqrt[3]{x} & \end{matrix}\right. (a\geq 0) $

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=1 & \\ a^{2}-b^{3}=3 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+1 & \\ (b+1)^{2}-b^{3}=3 & \end{matrix}\right.$

....

và cần thử lại

 

 

Câu 2 kết quả sai nhé bạn, chưa đầy đủ, VD $m=-2$ ta thấy PT vẫn có 2 nghiệm phân biệt.

 

 

ĐKXĐ: $x\geq m$

 

$(x^2+4x+3)\sqrt{x-m}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 & & \\ x=-3 & & \\ x=m & & \end{bmatrix}$

 

Xét $m<-3\Leftrightarrow$ PT có 3 nghiệm phân biệt $x_{1}=-1,x_{2}=-3,x_{3}=m$

 

Xét $m=-3\Leftrightarrow$ PT có 2nghiệm phân biệt $x_{1}=-1,x_{2}=-3$

 

Xét $-3<m<-1\Leftrightarrow$ PT có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}=-1,x_{2}=m$

 

Xét $m\geq -1\Leftrightarrow$ PT có nghiệm duy nhất $x=m$

 

Từ đó kết luận PT có 2 nghiệm phân biệt khi $-3\leq m< -1$

 

                                    (Lưu ý ĐKXĐ của bài toán để loại nghiệm không thỏa mãn)

Câu 1: (2đ) Cho hàm số $y=x^2-3x+m+1$ $(1)$ ($m$ là tham số)

      

                   1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$  khi $m=1$

                   2) Tìm $m$ để đths $(1)$ cắt đường thẳng $d: y=-(2+m)x+2$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho $\vec{OA}.\vec{OB}=4$

Câu 2:(2đ)

          

           1) Tìm $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $(x^2+4x+3).\sqrt{x-m}=0$

           2) Giải hpt với $x,y \epsilon R$ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=4y-1 & \\ x+y= \frac{y}{x^2+1}+2 & \end{matrix}\right.$

Câu 3:(2đ)

 

           1) Giải pt $\sqrt{x+3}-\sqrt[3]{x}=1$

           2) Cho $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a>0$ và $ab\geq \frac{1}{8}$. Chứng minh rằng $f(b^2-4ac)\geq 0$

Câu 4:(3đ)

 

           1) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(-2;3)$; $B(2;0)$; $C(\frac{1}{4};0)$.

               a) Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$

               b) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$

           2) Cho $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$; $AB=AD=2a$, $CD=a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

               Tính $\vec{AD}.\vec{BC}$ và khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $BC$ theo $a$.

Câu 5:(1đ) Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                   $P=\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Bạn nào giải dùm bài cuối với 

Câu 1 ($2,0$ đ)

    

         Cho biểu thức $P=\frac{1}{1+\sqrt{x}}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{2x^2+4}{1-x^3}$

 

     a) Rút gọn $P$.

     b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$.

 

Câu 2 ($2,0$ đ)

 

     a) Giải hpt : $\left\{\begin{matrix} 2x+y=11 & \\ 5x-4y=8 & \end{matrix}\right.$

 

     b) Giải pt : $(x^2+x)^2+4x^2+4x-12=0$

 

Câu 3 ($2,0$ đ)

 

  Cho phương trình: $x^2-2(m-1)x+m^2-m-5=0$

 

     a) Giải pt đã cho với $m=3$

     b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{10}{3}=0$

 

Câu 4 ($3,0$ đ)

 

     Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau ở $P$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $D,E$ theo thứ tự là hình chiếu của $P$ trên các đường thẳng $AB,AC$. Chứng minh rằng: 

 

     a) Các tứ giác $PMBD$ và $PMCE$ nội tiếp.

     b) $M$ là trực tâm $\Delta ADE$.

     c) $\widehat{PAB}=\widehat{MAC}$

 

Câu 5 ($1,0$ đ)

 

  Cho pt $ax^2+bx+c=0(a\neq0)$ có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0;2]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

 

$P=\frac{8a^2-6ab+b^2}{4a^2-2ab+ac}$

Bài 3:

1. Ta có

 

 

$\widehat{AMP}=\frac{\widehat{ACP}}{2};\widehat{PMB}=\frac{\widehat{PDB}}{2}$

 

$\Rightarrow \widehat{AMB}=\frac{\widehat{ACP}+\widehat{PDB}}{2}=\widehat{AOB}$

 

Do đó tứ giác $AMOB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MBD}$

 

Mà $\widehat{MCO}=2\widehat{MAC};\widehat{MDO}=2\widehat{MBD}\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MDO}\Rightarrow MCDO$ nội tiếp

 

2. Chứng minh $M\in (OAB)$: Do $AMOB$ nội tiếp (phần 1) nên ta có đpcm

 

Gọi giao điểm của $2$ tiếp tuyến kẻ từ $A,B$ của $(O)$ là $N$. Do $A,B$ cố định nên $N$ cố định

 

Khi đó $ANBO$ nội tiếp. Mà $AMOB$ nội tiếp nên $AMBN$ cũng nội tiếp

 

Suy ra $\widehat{AMN}=\widehat{ABN}=\widehat{NAB}$

 

Mà $\widehat{AMP}=\widehat{NAB}$ ( chắn cung $AP$)

 

$\Rightarrow \widehat{AMP}=\widehat{AMN}\Rightarrow \overline{M,P,N}$

 

Do đó $MP$ luôn đi qua điểm $N$ cố định

 

3. Có

 

$AMBN$ nội tiếp nên ta có

 

$PM.PN=AP.PB\leqslant \frac{(AP+PB)^2}{4}=\frac{AB^2}{4}=\frac{a^2}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $P$ là trung điểm của $AB$

 

---------------------------

P/s: ai up hộ mình cái hình lên hộ với 

 

 

1/ Điều kiện để pt có nghiệm là $\Delta \geq 0\Leftrightarrow (m-1)^2+4(m+1)\geq 0$

 

                                                                      $\Leftrightarrow m^2+2m+5\geq 0$   (luôn đúng do $m^2+2m+5=(m+1)^2+4>0$ với mọi $m$)

 

    Pt luôn có 2 nghiệm $x_1, x_2$ với mọi $m$ nên áp dụng Vi_et có:

 

    $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2= m-1 & \\ x_1x_2=-(m-1) & \end{matrix}\right.$   

 

    Có $\left | x_1-x_2 \right |^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(m-1)^2+4(m+1)=(m+1)^2+4\geq 4$

 

    Không mất tính tổng quát giả sử $x_1>x_2$ nên  $\left | x_1-x_2 \right |\geq 2$

 

    Dấu " $=$" xảy ra khi và chỉ khi $m=-1$

 

 

 

3/ Xét pt hoành độ: $-x^2-3x+4$ có nghiệm $x_1=1,x_2=-4$ lần lượt là hoành độ hai điểm $A,B$

 

   $A,B$ thuộc $(D):y=3x-4$ nên thay hoành độ vào tìm đc tung độ 2 điểm

 

 

 

2/ Tương tự bài 1, tìm điều kiện để pt có nghiệm sau đó áp dụng Vi_et.

 

    Bình phương biểu thức $(\left | x_1 \right |+\left | x_2 \right |)^2=4$ để làm mất giá trị tuyệt đối, sau đó thay Vi_et vô tìm $m$.

 

 

Câu 3.  a) Giải phương trình  $\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}=-1$

            

 

ĐK: $x\geq 1$

 

Pt $\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}=2\sqrt{x+1}-1$

    

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+3=4x+4-4\sqrt{x+1}+1 & \\ x\geq -\frac{3}{4} & \end{matrix}\right.$

 

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)-2\sqrt{x+1}=0 & \\ x\geq -\frac{3}{4} & \end{matrix}\right.$

 

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x+1}-1)^2=1 & \\ x\geq -\frac{3}{4} & \end{matrix}\right.$

 

    $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1& \\ x=3 & \end{bmatrix}$

 

    $\Rightarrow x=3$

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=3$ 

1/$x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1$

  $\sqrt{x+y}=x^{2}-y$

2/$y^{3}=x^{3}(9-x^{3})$

  $x^{2}y+y^{2}=6x$

3/$xy(y+1)+y^{2}+1=4y$

  $xy(x+2)+\frac{1}{y^{2}}+y^{2}=5$

 

xin lỗ nhá mình mới vào nên chưa quen gõ latex

 

 

1/ Đặt $x+y=a$ , $xy=b$ (ĐK $a\neq 0$) Pt trở thành $a^2-2b+\frac{2b}{a}=1\Rightarrow  a^3-2ab+2b=a$ 

 

                                                                                                                       $\Leftrightarrow a(a^2-1)-2b(a-1)=0$

                                 

                                                                                                                       $\Leftrightarrow (a-1)(a^2+a-2b)=0$

 

       Xét TH tìm đc $a,b$, từ đó tìm $x,y$

Giải phương trình sau :$x^{3}-x^{2}-x=\frac{1}{3}$  

cái phương trình này khó tách quá , mong mấy bạn giải giúp .

 

Nghiệm tương đối "đẹp" 

 

 

 

Đây là 1 câu trong đề v1 sp năm ngoái mà.
Giải như sau: Gọi $x_1;x_2$ lần lượt là nghiệm chung của từng cặp pt đó
Do $a \neq b$. Tính dc $x_1=\dfrac{c-1}{a-b}$ ;$ x_2=\dfrac{a-b}{c-1}$$ \Rightarrow x_1x_2=1$
Theo Viet đảo suy ra $x_2$ là nghiệm của pt (1)
Suy ra $\left\{\begin{matrix}x_2^2+ax_2 +1=0\\x_2^2+x_2+a=0\end{matrix}\right. \Rightarrow (a-1)(x_2-1)=0$
Nếu a=1 thay vào 1 vô nghiệm (loại)
Nếu $x_2=1$ thay vào tìm dc a+b+c=-3
 

 

Chỗ này cần xét $c=1$ và $c\neq 1$.

Theo Viet có $\left\{\begin{matrix} a+b=-p & \\ b+c=-q & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow (b+a)(b+c)=pq\Leftrightarrow (b+a)(b+c)=pq-6$

 

Cần chứng minh $(b-a)(b-c)=(b+a)(b+c)-6\Leftrightarrow ab+bc-3=0$

 

(cái này luôn đúng vì cũng theo Viet $\left\{\begin{matrix} ab=1 & \\ bc=2 & \end{matrix}\right.$)

 

Vậy ta có đpcm

 

Chỗ này bị nhầm à?

 

a) Kéo dài $MO$ cắt $(O)$ tại $S$

 

$ASBM$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{ASM}=\widehat{ABM}$

 

Mà$\widehat{ABM}=\widehat{MHF}=\widehat{MEF}\Rightarrow \widehat{MEF}+\widehat{AMS}=90^{\circ}=\widehat{ASM}+\widehat{AMS}$

 

hay $\widehat{MAS}=90^{\circ}$ $\Rightarrow SM$ là đường kính $\Rightarrow$ đpcm

 

 

b) Chứng minh $\Delta EHF$ đồng dạng $\Delta PDQ$ (g.g) 

 

$\left\{\begin{matrix} \widehat{EFH}=\widehat{PQD}(=\widehat{AMH})& \\ \widehat{FEH}=\widehat{QPD}(=\widehat{ABM}) & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

 

c) Có: $\frac{AH}{BD}=\frac{S(AMH)}{S(DMB)}=\frac{\frac{1}{2}sin\widehat{AMH}.AM.HM}{\frac{1}{2}sin\widehat{DMB}.MD.MB}=\frac{AM.HM}{MD.MB}$ (dễ chứng minh $\widehat{AMH}=\widehat{DMB}$)

 

Cmtt có $\frac{AD}{BH}=\frac{AM.MD}{HM.MB}$

 

Nhân vô có đpcm.

Bài 2:

 

b Tìm cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa: $6x^{2}+5y^{2}=74$

 

 

Từ gt $\Rightarrow 5y^2\leq 74\Leftrightarrow y^2\leq 12\Leftrightarrow -3\leq y\leq 3$

 

Mà có $y$ chẵn $\Rightarrow y\epsilon \begin{Bmatrix} -2;0;2 \end{Bmatrix}$

 

Xét từng TH tìm $x$

Gọi $a,b$ là 2 nghiệm của phương trình : $x^2+px+1=0$

      

       $b,c$ là 2 nghiệm của phương trình : $x^2+qx+2=0$

 

Chứng minh hệ thức:  $(b-a)(b-c)=pq-6$.

 

Câu 3. (2 điểm)

2) Trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (D) lần lượt có pt $y= \frac{1}{2}x^{2}$ và $y=mx+2$. Cmr với mọi gt của m, (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B và tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ).

 

 

 

Xét pt hoành độ $\frac{1}{2}x^2-mx-2=0$ $(*)$

$\Delta =m^2+4>0$ với mọi $m$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $\Rightarrow$ $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt A và B.

 

Có $AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ với $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$

 

$\Leftrightarrow AB^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2+(mx_1+2)^2+(mx_2+2)^2-2(mx_1+2)(mx_2+2)$ do $y_1=mx_1+2; y_2=mx_2+2$ $(I)$

 

Pt $(*)$ luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$ nên theo Vi_et có :

 

 $\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m & \\ x_1x_2=-4 & \end{matrix}\right.$ $(II)$

 

Thay vào $(I)$ có: $AB^2=4m^4+20m^2+16$

 

Lại có $OA^2=x_1^2+y_1^2$

 

          $OB^2=x_2^2+y_2^2$

 

$OA^2+OB^2=x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2=4m^4+20m^2+16=AB^2$ theo $(II)$

 

$\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại $O$. (theo Pytago đảo)