tanconggioihan

$\bigstar$ VD 7:

 

$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)}^2\geq 3$

 

 

 

em xin chém câu này theo cách hơi ngu một tẹo nhé 

dễ thấy là bđt viết lại thành $ \sum {\dfrac{1}{a+1}} + \sum {\dfrac{2}{(a+1)^2}} \ge 3$

Ta sẽ dồn về một biến để đánh giá . Không mất tính tổng quát có thể giả sử $ab \ge 1 $ => $c \le 1$

Ta có đánh giá sau : $ \dfrac{1}{1+a} +\dfrac{1}{1+b} \ge    \dfrac{2}{1+\sqrt{ab}} =      \dfrac{2\sqrt{c}}{1+\sqrt{c}}$

                   Và :$ \dfrac{1}{(a+1)^2} +\dfrac{1}{(b+1)^2} \ge \dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$

Đặt $\sqrt{c}=t$ thì bây giờ sau khi khai triển ta chỉ cần CM : $\dfrac{2t}{t+1}+\dfrac{t^2}{t^2+1} +\dfrac{2}{(t^2+1)^2} \ge 2$ 

Khai triển thì được $(t-1)^2(t^2+t+2)  \ge 0$ bđt cuối hiển nhiên 

$\bigstar $ VD1:

$$\frac{1}{a^{2}-a+1}+\frac{1}{b^{2}-b+1}+\frac{1}{c^{2}-c+1}\leq 3$$
 để ý ta đã có : $$\frac{1}{a^{2}+a+1}+\frac{1}{b^{2}+b+1}+\frac{1}{c^{2}+c+1} \ge  1$$

nên ta chỉ cần CM : $\sum {( \dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{a^2-a+1})} \le 4$

BĐt này tương đương $  \sum {\dfrac{a^2+1}{a^4+a^2+1}} \le 2$

Bđt này quy về bđt quen thuộc $$\frac{1}{a^{2}+a+1}+\frac{1}{b^{2}+b+1}+\frac{1}{c^{2}+c+1} \ge  1$$

4)

$(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3$

$=a^3-3a^2+3a+b^3-3b^2+3b+c^3-3c^2+3c-3$
$=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+b(b^2-3b+\frac{9}{4})+c(c^2-3c+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}(a+b+c)-3$
$=a(a-\frac{3}{2})^2+b(b-\frac{3}{2})^2+c(c-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$$\geq \frac{-3}{4}$

 

Dấu = có khi: $2$ số bằng $\frac{3}{2}$ và một số bằng $0$
 

câu này nè có (a-1)+(b-1)+(c-1)=0 thì suy ra được $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=3(a-1)(b-1)(c-1)$ rồi đánh giá được k nhỉ 

 

 

13) Giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ trong hệ $Oxy$. Biết $M\in Ox$; $A(11;-7);B(4;6)$

 

Vì $M\in Ox$ nên M(t;0)

Khi đó $MA= \sqrt{(t-11)^2+7^2}$

           $MB=\sqrt{(4-t)^2+6^2}$

sử dụng bất đẳng thức Minkowski $MA+MB \ge \sqrt{(t-11+4-t)^2+(7+6)^2}=\sqrt{218}$

Vậy Min $MA+MB=\sqrt{218}$

 

 

10) Cho $a;b>0$ thỏa : $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+ab-3=0  &  & \\ a+b\leq 2  &  &  \end{matrix}\right.$

Tìm Min $A=a^2-ab+b^2$(a,b>0)

 

 

 

khi đó $P=a^2-ab+b^2=a^2+b^2+ab-2ab=3-2ab$

vì a,b>0 nên a+b>0 => $(a+b)^2 \le 4$

mà $4 \ge (a+b)^2 \ge 4ab$ nên $ab \le 1$

=>$ P \ge 3-2 =1$

Min P=1 <=> a=b=1 

 

8) Cho pt: $2x^6+y^2-2x^3y-320=0$

Gọi $(x_1;y_1);...;(x_n;y_n)$ là tất cả nghiệm nguyên của  pt.

Tính $x_1+x_2+...+x_n$

6) Số ước nguyên của số $1339$ là ...

 

 

6) Có: $1339=13.103$

Vậy có 4 ước tự nhiên hay 8 ước nguyên.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b$

$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq 2c$

$\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\geq 2a$

Cộng vế với vế ta có:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

Áp dụng BĐT Bunyacopxki ta có: 

$a+b+c\geq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

$\Rightarrow dpcm$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

sao lại thế hả anh

bất đẳng thức cuối ngược cmn dấu rồi 

Cho $0\leq x,y,z\leq 2$ và$ x+y+z=3$. Tìm GTLN của$ P=x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

sử dụng dồn biến 

giả sử x=max{x,y,z}

khi đó dễ thấy $1 \le x \le 2$

P=$x^2+y^2+z^2$

=$x^2+(y+z)^2-2yz$ $\le x^2+(3-x)^2$ =$2(x-1)(x-2)+5$ $\le 5$

Mãx P=5 tại x=2;y=0;z=1 và hoán vị