KobatoSempai

Mấy đẳng thức đó thì cứ dùng quy nạp. Còn bài căn kia xuất phát từ tính giới hạn để tính đạo hàm, tức là tính đạo hàm của $x^{\alpha}$. Nếu giờ thay căn bậc hai bởi căn bậc bất kì thì không nhân liên hợp được nữa, mà thực ra bản chất của nó tại sao tính được chả phải do cái nhân liên hợp kia, bạn hãy thử chứng minh đẳng thức sau:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha$$.

Như vậy, chẳng hạn bài kia ta giải thế này:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n^2+2n}-n)=\lim_{n \rightarrow \infty} n(\sqrt{1+\frac{2}{n}}-1)=\lim_{n \rightarrow \infty} n.\frac{1}{n}=1$$

Giờ bạn có thể giải thích được tại sao lại là $n^2+2n$ và có thể làm được với dấu căn bất kì

Thế

1. Vấn đề là ở chỗ vào phòng thi người ta chỉ cho đề là: Tìm $\lim_{n\rightarrow \infty }\tfrac{1^{2}+2^{}+...+n^{2}}{n^{3}}$ thì làm sao mà mình đoán được là nó sẽ bằng $\lim_{n\rightarrow \infty }\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}$ hả bạn? Hay làm nhiều gặp nhiều thì sẽ quen?

2. Làm sao để chứng minh cái này hả bạn? $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^{\alpha}-1}{x}=\alpha$$.