MarvelHero

Cho các số thực $a,b,c,d$; $a^2+b^2\leqslant 1$. Chứng minh rằng:

$\left ( ac+bd-1 \right )^2\geqslant (a^2+b^2-1)(c^2+d^2-1)$

OK OK

1) Cho các số a,b,c $\geq 0$. Chứng minh:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\leq \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}$

2) Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn: $-1\leq x,y,z\leq 1$ và $x+y+z=0$.Tìm max của
$x^{2}+y^{4}+z^{6}$

1) Cho tam giác ABC: $\widehat{A}=120^{\circ}$ , AB= 3cm, AC=6 cm. Gọi AD là phần giác góc A.( D$\in BC$). Tính độ dài phân giác AD.

2) Cho tam giác ABC, đường phân giác trong AD thỏa mãn: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$. Tính $\widehat{BAC}$

3) Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB tại D, cắt BC tại K, cắt tia đối CA ở E sao cho BD=CE. Chứng minh tỉ số $\frac{KE}{KD}$ không đổi.
4) Cho hình thang ABCD, có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo, K là giao điểm của AD và BC, OK cắt AB, CD lần lượt tại M,N. Chứng minh M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Cho hình chữ nhật MNPQ, tam giác ABC thuộc miền trong hình chữ nhật. Chứng minh $S_{ABC}\leq \frac{1}{2}S_{MNPQ}$.