CM luôn tồn tại một số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{2011}$ chữ số chia hết cho $2^{2011}$
Chứng minh : luôn tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k}$ chữ số chia hết cho $2^{k+1}$ với mọi k thuộc N theo qui nạp
+,k=0,1,2 thì chọn số 2 và 12 và 2112
+ Giả sử giả thiết qui nạp đúng đến k hay tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k}$ chữ số chia hết cho $2^{k+1}$ gọi số đó là a
Ta sẽ đi chứng minh tồn tại số gồm các chữ số 1 và 2 có $2^{k+1}$ chữ số chia hết cho $2^{k+2}$
Xét a
a chia hết cho $2^{k+2}$ thì chọn số b = 11...112 . $10^{k+1}$ +a khi đó số b thoả mãn
a không chia hết cho $2^{k+2}$ thì chọn số b = 22...221 . $10^{k+1}$ +a khi đó số b thoả mãn
Vậy ta có đpcm