ST Quang 831

Giải:

Cộng vế với vế các pt trên ta được:

$(x+y+z)^2=x+y+z\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y+z=0 & & \\ x+y+z=1 & & \end{bmatrix}$

Trừ theo vế pt $(1)$ và pt $(2)$ ta được:

$x^2+2yz-y^2-2zx=x-y\Leftrightarrow (x-y)(x+y-2z-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=y & & \\ x+y=2z+1 & & \end{bmatrix}$

Tương tự đối với pt $(2)$ và pt $(3)$, pt $(3)$ và pt $(1)$, ta có:

$\begin{bmatrix} y=z & & \\ y+z=2x+1 & & \end{bmatrix}$ và $\begin{bmatrix} z=x & & \\ z+x=2y+1 & & \end{bmatrix}$

Tới đây thử từng TH một nhưng mà hơi dài được nghiệm là $(0;0;0);(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3})$

bạn thử thử xem

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

Mặt khác: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$ theo điều kiện ta giả sử.....

Vậy: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2}\geq (\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$
bạn làm cụ thể đc hông??

 

ĐK: $x\geq -5$

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2(2x+1)^{2}-1=\sqrt{x+5}$.

Đặt $2y+1=\sqrt{x+5}$.

$\Rightarrow$: $\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+8x+1=2y+1 & \\ 8y^{2}+8y+1=2x+1& \end{matrix}\right.$.

 

Phương trình (2) của bạn ở đâu ra vậy.. $2y+1=\sqrt{x+5} \Leftrightarrow 4y^2+4y+1=x+5 \Leftrightarrow 8y^2+8y-7=2x+1$ chớ??