bvd

Ý tưởng ý a bài 10 (thế này chắc chưa là bài giải được)

Gọi $x$ là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có dãy không âm $a$ tăng có $n$ phần tử duy nhất thỏa mãn

$x = \sum_{i=1}^{n} 2^{a_i}$ với $a_i$ là phần tử thứ $i$ của dãy a.

Do các khoảng cách nhị phân của $x$ nhỏ hơn hoặc bằng 3 nên $a_{i+1}-a_{i} \leq 4$ $\forall i<n$.

Lại có $1 \leq x \leq 4095$ nên $a_{n}<12$

Gọi $f(m;n)$ là số dãy số nguyên không âm $a$ tăng có $n$ phần tử, $a_n = m$ thỏa mãn $a_{i+1}-a_{i} \leq 4$ $\forall i<n$, ta có công thức truy hồi:

$f(m;n) = 0$ nếu $m<0$;

$f(m;n) = 1$ nếu $m \geq 0$ $n=1$;

$f(m;n) = f(m-1;n-1) + f(m-2;n-1) + f(m-3;n-1) + f(m-4;n-1)$ nếu $m \geq 0$ và $n > 1$

Do số lượng số $x$ thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng số lượng dãy không âm $a$ tăng có $n$ phần tử thỏa mãn $a_{n}<12$ và $a_{i+1}-a_{i} \leq 4$ $\forall i<n$ nên kết quả bài toán là $\sum_{i=0}^{11} \sum_{j=1}^{12} f(i;j) = 3333$

Mình quay lui trên $Pascal$ ra $3095$ nên có thể bài mình bị sai đâu đó.

Hệ thức Ceva có được học trong THPT ko? 

Mình thấy điều đặc biệt là AH đi qua trung điểm DM liệu có khai thác được yếu tố này? Mình nghĩ rất lâu mà vẫn chưa ra. Còn hệ thức trên là lần đầu mình nhìn thấy đó

Hệ thức Ceva có trong sách bài tập nên được phép sử dụng, kể cả khi thi Đại học.

$M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $AB, AC$ nên $\widehat{DMA} = 90^o$ và $\widehat{DNA} = 90^o$.

Xét tứ giác $DMNA$, $\widehat{DMA}+\widehat{DNA}=180^o$ nên $DMNA$ là tứ giác nội tiếp, lại có $(C)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ nên $A \in (C)$

$A \in (C)$, mà $A \in AH$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $x^2+y^2+4x-2y-4=0$ và $3x-y+10=0$

Giải hệ trên, kết hợp điều kiện hoành độ A nguyên, ta có $A(-2;4)$

Gọi đường tròn đường kính $BC$, phương trình $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16$ là $(C)$, ta có $(C)$ nhận $I(2;-1)$ làm tâm và $I \in BC$.

Do $A \in d$ với $d:3x+y-3=0$, gọi $A(a;-3a+3)$, ta có $\vec{HA} = (-1-a;3a-3)$

Hai đường cao xuất phát từ $B$ và $C$ của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$ nên $AH \perp BC$, do đó $\vec{HA}$ là vec-tơ pháp tuyến đường thẳng $BC$, vì vậy phương trình $BC$ có dạng $(-1-a)x+(3a-3)y+\alpha=0$.

Mà $I \in BC$

nên $(-1-a).2-(3a-3)+\alpha=0$ hay $\alpha=5a-1$

Vậy $BC:(-1-a)x+(3a-3)y+5a-1=0$

Tọa độ giao điểm $BC$ và $(C)$ là nghiệm của hệ

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 16$ và $(-1-a)x+(3a-3)y+5a-1=0$ $(I)$

Giải $(I)$, ta được tọa độ điểm $B$ và $C$.

Mình chưa giải được hệ này, chắc đề bài thiếu dữ kiện

Chọn hệ trục tọa độ $Axy$ sao cho $B(1;0)$ và $C(0;\alpha)$. Khi đó $c=1$ và $b=\alpha$ và $a=\sqrt{1+\alpha^2}$.

Gọi $I(i_1;i_2)$, ta có $\vec{IB}= (1-i_1;-i_2), \vec{IC} = (-i_1;\alpha-i_2), \vec{IA} = (-i_1;-i_2)$

Theo đề bài: $b^2 \overrightarrow{IB}+c^2\overrightarrow{IC}-2a^2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

vì vậy

$\alpha^2(1-i_1)-i_1+2(1+\alpha^2)i_1=0$

và $-\alpha^2i_2+\alpha-i_2+2(1+\alpha^2)i_2=0$

nên $I(\frac{-\alpha^2}{\alpha^2+1};\frac{-\alpha}{\alpha^2+1})$ trong hệ trục tọa độ $Axy$ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $M(m_1;m_2)$, ta có $\vec{MB}= (1-m_1;-m_2), \vec{MC} = (-m_1;\alpha-m_2), \vec{MA} = (-m_1;-m_2)$

Có $b^2.MB^2+c^2.MC^2-2a^2.MA^2=\alpha^2[(1-m_1)^2+m_2^2]+m_1^2+(\alpha-m_2)^2-2(1+\alpha^2)(m_1^2+m_2^2)$

với $\alpha$ là hằng số, $m_1, m_2$ là biến, ta dễ dàng tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.