NGUYENDUC0011

1. Cho trường vector $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$ được xác định bởi vận tốc $\overrightarrow{v}$ tại điểm $\overrightarrow{r}$ của một chiếc đĩa quay tròn quanh tâm O với vận tốc góc $\omega$ không đổi.

Tìm $\overrightarrow{\bigtriangledown }\times \overrightarrow{v}$ tại điểm bất kì trên đĩa.

2. Cho trường vector $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r})$ như sau : $\left\{\begin{matrix} có hướng theo chiều dương của tiếp tuyến với C(O,r) tại \overrightarrow{r} & \\ + Có độ lớn không đổi: \overrightarrow{v}=const & \end{matrix}\right.$

Tìm $\overrightarrow{\bigtriangledown }\times \overrightarrow{v}$ tại điểm bất kì trên mặt phẳng (xOy).

3. Chứng minh:

$\widehat{\overrightarrow{e$_{i}$}}=h_{i}\overrightarrow{\bigtriangledown }q_{i}$

trong đó: qi là hệ tọa độ cong trực giao

               hi là các hệ số Lame tương ứng với {qi}

               $\widehat{\overrightarrow{e_{i}}}$ là các vector cơ sở chuẩn hóa tương ứng qi

4. a. Tìm biếu thức của yếu tố vi phân diện tích dS trong hệ tọa độ cực

Áp dụng tính diện tíhc hình tròn.

    b. Tìm biểu thức của yếu tố vi phân thể tích trong hệ tọa độ cầu

Áp dụng tính thể tích hình cầu.

5. Chứng minh:

a. $\overrightarrow{\bigtriangledown }(\overrightarrow{\bigtriangledown }\varphi \times \overrightarrow{\bigtriangledown }\psi )=0 \forall \varphi ,\psi$

b. $\overrightarrow{\bigtriangledown }.(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=\overrightarrow{b}(\overrightarrow{\bigtriangledown }\times \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}(\overrightarrow{\bigtriangledown }\times \overrightarrow{b})$

Mọi người trợ giúp mình những bài này, sắp thi rồi mà vẫn không biết làm mấy

 

1. Chứng minh: [A,BCD] = [A,B]CD + B[A.C]D + BC[A,D]

2. Chứng minh: [A, $\prod_{i=1}^{n}A_{i}$] = $\sum_{i=1}^{n}A_{1}...A_{n-1}[A,A_{i}]A_{i+1}...A_{n}$

3. Khai triển các toán tử:

a. $\left ( \frac{d}{dx}+x \right )^{2}$      b. $\left ( x\frac{d}{dx} \right )^{2}$      c. $\left ( \frac{d}{dx}x \right )^{2}$      d. $\left ( \frac{d}{dx}+\frac{1}{x} \right )^{2}$

4. Chứng minh: $[\frac{\partial }{\partial x},x^{n}]=nx^{n-1}$

Tổng quát: Nếu [A,B] = 1 => $[A,B^{n}]=nB^{n-1}$

5. Cho hai toán tử $\widehat{A},\widehat{B}$ thỏa mãn: $[\widehat{A},\widehat{B}]=1$. Tính $[f(\widehat{A}),\widehat{B}]$

6. Chứng minh: $\widehat{A}f(\widehat{B})\widehat{A}^{-1}=f(\widehat{A}\widehat{B}\widehat{A}^{-1})$

với f(x) là hàm khả vi liên tục vô hạn lần.

7. $\widehat{C}$ là toán tử liên hợp phức. Hỏi:

a. $\widehat{C}$ có là toán tử tuyến tính không?

b. $\widehat{C}$ có là toán tử tự liên hợp không?

8. Tìm toán tử liên hợp Hermitian với các toán tử: $\frac{d}{dx}, \frac{d^{n}}{dx^{n}}, e^{i\alpha \frac{\partial }{\partial x}}$

9. a. Chỉ ra ví dụ về 1 dãy Cauchuy trong Q nhưng không hộ tụ về Q.

    b. Chứng minh mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchuy.

10. Bằng phương pháp Gram-Schmidt, tìm lại một số đa thức ban đầu của hệ đa thức Legendre, Hermite, Tchebychef từ hệ đơn thức ${1,x,x^{2},x^{3}...}$

11. Tính tíhc phân: $F(s,t)=\int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}e^{2sx-s^{2}}e^{2tx-t^{2}}dx$

Và khai triển kết quả như là chuối kép theo s và t

Bằng cách khảo sát hệ số của $s^{n}t^{m}$ , chỉ ra rằng: $\int_{-\infty }^{+\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx=2^{n}n!\sqrt{\pi }\delta _{nm}$

12. Chứng minh: a. Toán tử vi phân $\frac{\partial }{\partial x}$ là toán tử tuyến tính

                            b. Toán tử $\sqrt{}$ (căn bậc 2) không phải là toán tử tuyến tính.

13. Chứng minh các tính chất của toán tử liên hợp $\widehat{A^{\dagger }}$

 

@Mrnhan: ac nên chú ý cách đặt tiêu đề khỏi ko để nhiễu. tks