Đến nội dung

chemphymath

chemphymath

Đăng ký: 11-10-2014
Offline Đăng nhập: 02-12-2018 - 20:46
-----

#717703 Nhà Toán học cuối cùng từ Göttingen của Hilbert: Saunders Maclane, nhà triết...

Gửi bởi chemphymath trong 22-11-2018 - 00:23

Để bắt đầu, mình sẽ dịch phần tóm tắt và mở đầu của tài liệu trên.

Tài liệu này hơi thiên về triết học vì tác giả Colin McClarty nghiên cứu về triết học của toán học. Về sau nếu có chỗ nào thiên về triết học quá mà xa rời toán học thì mình sẽ lược bỏ.

 

TÓM TẮT

Khi Saunders Mac Lane theo học bằng Tiến sĩ Triết học (D. Phil.) ở Gottingen, ông nghe bài giảng hằng tuần của David Hilbert về triết học, nói chuyện về triết học với Hermann Weyl, và nghiên cứu nó cùng với Moritz Geiger. Triết học của họ và Đại số của Emmy Noether đều là khởi nguồn cho các ý tưởng của ông về lý thuyết phạm trù, thứ mà giờ đây đã trở thành lý thuyết để toán học ngày nay làm việc trên các cấu trúc. Cống hiến của ông đã hoàn toàn khẳng định rằng một cách hệ thống hoá toán học trên bình diện rộng là con đường hiệu quả nhất để khám phá ra các kết quả quan trọng - trong khi ông coi câu hỏi về liệu một kết quả toán học là quan trọng hay không là một câu hỏi triết học không thể bỏ qua. Tư tưởng của ông dựa trên những ý tưởng về chân lý và sự tồn tại [trong toán học] mà ông đã có từ khi ở Gottingen. Sự nghiệp của ông là một ví dụ thực tiễn cho việc liên hệ chủ nghĩa tự nhiên trong triết học của toán học với triết học sinh ra một cách tự nhiên từ toán học.

BỐ CỤC

  1. Mở đầu (Introduction)
  2. Cấu trúc và Cấu xạ (Structures and Morphisms)
  3. Varieties of Structuralism
  4. Gottingen
  5. Logic: Mac Lane’s Dissertation
  6. Emmy Noether
  7. Natural Transformations
  8. Grothendieck: Toposes and Universes
  9. Lawvere and Foundations
  10. Truth and Existence
  11. Naturalism
  12. Austere Forms of Beauty

 

MỞ ĐẦU

Khoa học gần với chủ nghĩa duy tâm ở chỗ thực tại khách quan không được giả định trước mà đặt ra như một vấn đề.

(Weyl [1927], p.83)

Các mô hình được toán học hoá, các mô hình của chuyển động, quan hệ, v.v là cơ sở của thực tại vật lý, và có thực [đối với các khoa học tự nhiên]. Còn trong toán học chúng hiểu theo một cách khác, cùng các mô hình toán học đó v.v không có thật mà là trường hợp riêng của một thế giới trừu tượng.

(Geiger [1930], p. 87)

 

Khi mà nhóm Bourbaki muốn đặt nền móng cho bộ bách khoa thư Elements of Mathematics (Cơ sở của Toán học) dựa trên một ý tưởng thích hợp về cấu trúc, họ đã chú ý đến một nhà đại số và logic ở Gottingen, một người mà cũng nghiên cứu về triết học [của toán học]:

Như mọi người đã biết, người đồng nghiệp Mac Lane đáng kính của tôi tin rằng mọi khái niệm về cấu trúc cần phải gắn liền với một khái niệm tương ứng về đồng cấu [ánh xạ bảo toàn cấu trúc], sao cho với mỗi thông tin về cấu trúc nó chỉ ra điều gì thay đổi một cách thuận biến hay nghịch biến […] Các bạn nghĩ chúng ta có thể thu được điều gì từ cách xem xét trên? (Andre Weil gửi cho Claude Chevalley, Oct. 15, 1951, trong Corry [1996], p. 380).

Ý tưởng của Mac Lane không phải một tiên đề, cũng không phải một khái niệm hay định lý. Nó chưa được chấp nhận rộng rãi vào thời điểm đó và ngay cả Weil cũng đã hiểu sai về nó, như chúng ta sẽ thấy. Dưới góc độ toán học, nó là một sự tổng quát hoá lớn lao từ những công trình Mac Lane cộng tác với Samuel Eilenberg về topo và đại số, dưới sự ảnh hưởng của Emmy Noether. Từ góc độ triết học, nó phản ánh mối quan tâm của Mac Lane về nền tảng của toán học và những nghiên cứu của ông cùng với Hermann Weyl và Moritz Geiger. Nói rộng hơn thì nó thể hiện quan niệm của Mac Lane về tự nhiên và ý nghĩa của toán học.

Weil đã không đồng tình với tư tưởng của Mac Lane mặc dù những tư tưởng ấy, cũng như ông, đều phát triển từ nền khoa học Đức giàu truyền thống. Weil thừa hưởng những truyền thống đó từ Hilbert và Bertrand Russell. Do [những ảnh hưởng] đó mà Weil xem toán học chỉ như công cụ và mang tính hình thức, bỏ qua ý nghĩa triết học của nó. Alexander Grothendieck, trái lại, cho rằng cách tiếp cận của Weil là ‘rất hời hợt, một cách tư duy rất “bề mặt”, “hạn hẹp” về toán học’ ([1987], p.970) .

Luận án1 của Mac Lane viết về logic, chứng minh hình thức và tính thực hành của chúng. Ông và Eilenberg thảo luận về các câu hỏi về sự tồn tại2 [của các khái niệm hay đối tượng] trong toán học, mà ngày nay vẫn còn gây tranh cãi (Eilenberg and Mac Lane [1945], p. 246). Toán học và triết học luôn gắn liền với nhau trong suốt sự nghiệp của ông và chúng được kết tinh trong lý thuyết phạm trù mà ông phát triển. Ông so sánh tính tự nhiên trong triết học của toán học với triết học sinh ra một cách tự nhiên từ toán học. Mac Lane chịu ảnh hưởng từ toán học và triết học của Weyl. Noether cũng để lại dấu ấn lên tư tưởng của ông bằng toán học của mình. Ông cũng gây ra ảnh hưởng đáng chú ý lên Grothendieck và William Lawvere. Lawvere và Mac Lane trao đổi về triết học cũng nhiều như trao đổi các ý tưởng toán học, còn ảnh hưởng của Mac Lane tới Grothendieck là những điểm tương đồng về mặt toán học.

Mỗi giai đoạn trong sự nghiệp của ông đều khiến ông phải đối diện với ‘những câu hỏi đầy tính triết học về chân lý và vẻ đẹp của Toán học’ (Mac Lane [1986], p.409). Ông tìm thấy trong triết học những niềm tin định hướng cho các nghiên cứu của mình. Lý thuyết phạm trù mà ông phát triển vì sự cần thiết của topo và đại số, giờ đây là một phần của các sách giáo trình và là nền tảng của toán học.

 

Trích dẫn trong bài:

  1. Weyl, H. [1927]: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Munich: R. Oldenbourg.
  2. Geiger, M. [1930]: Die Wirklichkeit der Wissenschaften und die Metaphysik, Bonn: F. Cohen.
  3. Corry, L. [1996]: Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, Basel: Birkh¨auser.
  4. Grothendieck, A. [1985–87]: R´ecoltes et Semailles, Montpellier: Universit´e des Sciences et Techniques du Languedoc.
  5. Eilenberg, S. and Mac Lane, S. [1945]: ‘General Theory of Natural Equivalences’, Transactions of the American Mathematical Society, 58, pp. 231–94.
  6. Mac Lane, S. [1986]: Mathematics: Form and Function, New York: Springer-Verlag.

Một số nơi tham khảo để hiểu thêm về các khái niệm triết học của toán học được sử dụng:

  1. https://en.wikipedia..._of_mathematics
  2. https://hsm.stackexc...eviated-proving

 

1 Luận án của Mac Lane viết về sự hình thức hoá chứng minh toán học mà vẫn thu được cùng một lượng thông tin. Cụ thể ông quan tâm tới thứ gọi là Abbreviated Proof. Đây có vẻ là một khái niệm thuộc về logic và foundation of mathematics. Hơn nữa công trình này của Mac Lane không có nhiều ảnh hưởng; thậm chí những người hướng dẫn của Mac Lane là Weyl và Bernays không cho rằng nó hàm chứa nhiều toán học.

 

2 “mathematical existence”

Có lẽ khái niệm này muốn đề cập tới sự có hay không tồn tại các đối tượng toán học. Chẳng hạn một nhóm liệu có tồn tại thực sự không, nếu nó chỉ được định nghĩa một cách tiên đề? Hay tập số thực, một tập số vượt ra khỏi tập số tự nhiên quen thuộc với chúng ta và được xây dựng thông qua lát cắt Dedekind hoặc phương pháp tiên đề, liệu có tồn tại thực sự? Các trường phái triết học của toán học phần nào mong muốn trả lời câu hỏi này. Chẳng hạn đứng về phía methodology thì những khái niệm này được sử dụng là do tính hữu dụng của chúng.




#556192 xác định số hạng tổng quát của dãy số: $\begin{Bmatrix} x...

Gửi bởi chemphymath trong 25-04-2015 - 10:53

Bài 2: Gọi  an và bn (n thuộc N*) là 2 số nguyên dương thỏa mãn hệ thức: 

$a_{n}+b_{n}\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{n}$ (với mọi n thuộc N*). CMR: tồn tại $\lim_{n \to +\infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}$ và tìm giới hạn đó

Ta có $$ a_n + b_n\sqrt{2} = (a_{n-1}+b_{n-1}\sqrt{2}) (2+ \sqrt{2}) $$
$$\Leftrightarrow a_n + b_n\sqrt{2} = (2a_{n-1} + 2b_{n-1}) + (a_{n-1} + 2b_{n-1})\sqrt{2}$$
$$\Rightarrow a_n=2a_{n-1} + 2b_{n-1} ; b_n=a_{n-1} + 2b_{n-1} $$
Từ đó suy ra $$c_n=\frac{a_n}{b_n} = \frac{2a_{n-1} + 2b_{n-1}}{a_{n-1} + 2b_{n-1}}=1+\frac{1}{1+\frac{2}{\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}}} = 1 + \frac{1}{1+\frac{2}{c_{n-1}}}$$
Để ý $b_0=0$ nên $c_n$ chỉ xác định từ $c_1$
Đặt $f(x)=1 + \frac{1}{1+\frac{2}{x}}$.Dễ thấy $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}$. Theo định lý Lagrange ta có: $$ |c_n-\sqrt{2}|=|f(c_{n-1})-f(\sqrt{2})|=|f'(y)||c_{n-1}-\sqrt{2}|$$
Trong đó y là số nào đó nằm giữa $c_{n-1}$ và $\sqrt{2}$.
Mặt khác $f'(x)=\frac{2}{(x+2)^2} < 1/2$ với mọi x dương.
$$\Rightarrow 0 \leq|c_n -\sqrt{2}|<\frac{1}{2}|c_{n-1}-\sqrt{2}|<\dots<\frac{1}{2^{n-1}}|c_1-\sqrt{2}|$$
Lại có $\lim_{n \to +\infty } 0=0$ và $\lim_{n \to +\infty } \frac{1}{2^{n-1}}|c_1-\sqrt{2}|=0$ nên theo nguyên lý kẹp ta có $\lim_{n \to +\infty } |c_n-\sqrt{2}|=0 \Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty } c_n=\sqrt{2}$.



  1. Diễn đàn Toán học
  2. → Đang xem trang cá nhân: Likes: chemphymath