Ta sử dụng phương pháp cân bằng hệ số
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
$a^{3}$+$a^{3}$+$x^{3}$ $\geqslant$ 3x$a^{2}$ <=> 1/2(2$a^3$+$x^3$) $\geqslant$ 3/2x$a^2$
tương tự ta có 1/2(2$b^3$+$y^3$) $\geqslant$ 3/2y$b^2$
2$c^3$+$z^3$ $\geqslant$ 3z$c^2$
=> $a^3$+$b^3$+2$c^3$ $\geqslant$ 3/2x$a^2$+3/2y$b^2$+3z$c^2$ - 1/2$x^{3}$-1/2$y^{3}$-$z^{3}$
để sử dụng giả thiết ta cần chọn 3/2x=3/2y=3z <=> x=y=2z
để ý rằng $x^2$+$y^2$+$z^2$=12
tới đây giải hệ tìm x;y;z là xong