nhungvienkimcuong

Cho $x\geq y\geq z> 0$ và $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y$

một cách làm khác có vẻ tự nhiên hơn

$P\geq \frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y$

tới đây có thể xét hàm hoặc phang luôn là $\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3(y-1)^2}{y}+5\geq 5$

U-Th

Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

không mất tính tổng quát giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$

do đó ta có $VT\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(a+b+1)\prod (1-a)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1+a)(1+b)\prod (1-a)}{a+b+1}$

                        $=\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$

U-Th

Cho $a,b,c>0$, thoả mãn:$a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$. Tìm Max

$A=\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac}$

ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{4-ab}\leq 1\Leftrightarrow 16+3(a+b+c)abc\geq a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)$

ta có $\left ( \sum a^3+3abc \right ).\left ( \sum a \right )\geq \left ( \sum ab(a+b) \right ).\left ( \sum a \right )$

$\Leftrightarrow 15+3abc(a+b+c)\geq \sum \left [ (ab+bc)^2+4 \right ]\geq 8(ab+bc+ca)$

mặt khác $a^2b^2c^2\leq 1$ nên ta có đpcm

U-Th

 

Giải hệ PT sau:

1. $\begin{Bmatrix} x^{3}+3xy^{2}=-49\\x^{2}-8xy+y^{2}= 8y-17x  \end{Bmatrix}$

đặt $a=x+y,b=x-y$ thì ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a^3+b^3+98=0\\3a^2-5b^2-9a-25b=0 \end{matrix}\right.$

lấy $PT(1)-3PT(2)\Rightarrow (3-a)^3=(b+5)^3\Rightarrow a=-b-2$

phần còn lại ok rồi

U-Th

    Cho x, y, z dương, x+y+z=1

CMR 

$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{zx+yz}}+\frac{xz}{\sqrt{xz+yx}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

ta có $VT^2=\left ( \sum \sqrt{\frac{x^2y}{z+x}} \right )^2\leq \left [ \sum x(y+z) \right ] \left [ \sum \frac{xy}{(z+x)(z+y)} \right ]$

do đó ta chứng minh $\frac{2\sum xy\sum xy(x+y)}{\coprod (x+y)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{4\sum xy(x+y)}{\prod (x+y)}\leq \frac{\left ( \sum x \right )^2}{\sum xy}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+\frac{8xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$

bđt này quen thuộc rồi nên có được đpcm

p\s:anh thích mấy bài của TQ nhỉ

U-Th

Cho hai điểm $P,Q$ là hai điểm đẳng giác đối với tam giác $ABC$.Gọi $H,K$ và $M,N$ lần lượt là hình chiếu của của  $P,Q$ lên $AB,AC$.$HK\cap MN=S$.CMR $AS$ vuông góc với $PQ$

U-Th

CHo tam giác ABC , đường cao BB', CC'. Gọi E lần lượt là trung điểm AC, AB. È cắt B'C' tại K. CM AK vuông góc với đường thẳng Euler tam giác ABC.

gọi $BB'\cap CC'=H,CF\cap BE=G,B'F\cap C'E=I$

dựng đường tròn $(S)$ là đường tròn $euler$ của tam giác $ABC$

áp dụng định lí $papus$ cho hệ điểm $F,C',B$ và $E,B',C$ ta có $I,H,G$ thẳng hàng

do đó $SI$ là đường thằng $euler$ của tam giác $ABC$                    $(1)$

xét cực và đối cực đối với $(S)$

vì $C'E\cap B'F=I$ mà $C'F\cap B'E=A,EF\cap B'C'=K$ nên $AK$ là đường đối cực của $I$ do đó $SI\perp AK$  $(2)$

từ $(1)$ và $(2)$ ta có được đpcm

U-Th