Bubble

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a\geq 0,b\geq 0,c>0,a+b+c=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=$\frac{1}{2015}ln(1+a^{2})+\frac{1}{2016}ln(1+b^{2})$+$\frac{8(1-\sqrt{c^{2}+3})}{3c}$

Cho a,b,c là các số thực dương, $a+b+c\geq 3$

Tìm min: P=$\sum \frac{a^{2}}{bc+\sqrt{a^{3}+8}}$

Cho các số thực x,y,z $\in$ $\left [ 0;1 \right ]$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

P= $\frac{x^{3}+2}{y^{2}+1}+\frac{y^{3}+2}{z^{2}+1}+\frac{z^{3}+2}{x^{2}+1}$

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})=9(xy+2yz+zx)$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}$

Đăng nhầm topic rồi bạn,những bài thế này nên chuyển sang mục BĐT toán THPT.

 

Về ý tưởng cho bài này ta sẽ thực hiện phân li đẳng thức vì ngoài dấu bằng đạt tại $a=b=c$ thì còn có $a=b,c=0$ hay các hoán vị của chúng. Cụ thể ta sẽ tách riêng đại lượng $abc$ ra một bên vì dấu bằng thứ 2 sinh ra là do đại lượng này, khi đó ta có thể thoải mái đánh giá lượng còn lại mà không cần quan tâm đến điểm rơi đó nữa.

 

BĐT của chúng ta tương đương với:

 

$\sum \frac{3a^3}{b^3+c^3}+abc.\sum \frac{1}{b^3+c^3} \geq 6$

 

Áp dụng BĐT AM-GM thì ta có: $\sum (a^3+b^3)(b^3+c^3)\geq 3\sqrt[3]{\prod (a^3+b^3)^2}\geq 12a^2b^2c^2$

 

Do đó ta cần chứng minh:

 

$\sum \frac{a^3}{b^3+c^3}+\frac{4a^3b^3c^3}{\prod (a^3+b^3)}\geq 2$

 

Đây chính là BĐT Schur dạng phân thức.

cảm ơn bạn. mình xin rút kinh nghiệm

Cho a,b,c là các số không âm trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\sum \frac{3a^{3}+abc}{b^{3}+c^{3}}\geq 6$

Cho x,y,z là các số thực dương. xyz=1. Tìm GTNN của

P = $\sum \frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+z\sqrt{z}}$

Ta có:$(4a^2+2b^2+1)(4c^2+3)=\left ( 4a^2+2b^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \right )$

$\left ( \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+4c^2+2 \right )\geq \left ( 2a.\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{2}b.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}.2c+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{2} \right )^2$

$=\frac{4}{3}(a+b+c+1)^2\geq \frac{4}{3}.4(a+b+c).1$

$=\frac{16}{3}(a+b+c)$

$\Rightarrow M=\frac{a+b+c}{(4a^{2}+2b^{2}+1)(4c^{2}+3)}\leq \frac{3}{16}$

Dâu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{6} & & & \\ b=\dfrac{1}{3} & & & \\ c=\dfrac{1}{2} & & & \end{matrix}\right.$

Bạn cho mình hỏi đoán dấu bằng như nào vậy??

Cho a,b,c >0. Tìm giá trị lớn nhất của M= $\frac{a+b+c}{(4a^{2}+2b^{2}+1)(4c^{2}+3)}$ 

Cho a, b, c là các số thực dương, a+b+c=4. Chứng minh rằng:

      $a^{\frac{3}{4}} +b^{\frac{3}{4}} +c^{\frac{3}{4}}> 2\sqrt{2}$