kkio34248

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài đó ở đây http://diendantoanho...4610-bđt-am-gm/

VD3:(OLIMPIC 30-4)Chứng minh với mọi a,b,c dương có tổng bình phương bằng 1,ta có BĐT

$\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (1)

Và BĐT phụ của BĐT trên là 

với mọi a dương ,BĐT sau đúng

$a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ (2)

$a^2(1-a^2)^2=\frac{1}{2}.2a^2.(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{2a^2+(1-a^2)+(2-a^2)}{3} \right ]^3=\frac{4}{27}$

BĐT (1) đã được chứng minh

Sau đây là lời giải trọn vẹn

Vì $\large a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ nên ta viết BĐT thành $\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)$

Do đó chỉ cần CM $\frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ hay $\large \frac{1}{a(1-a^{2})}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\large \Rightarrow dpcm$

Phương trình trên tương đương:

$(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)(x+2)\sqrt{x^2-x+1}$

Do đó phương trình có 1 nghiệm là $x=1$

Ta có:$x^2+x+1=(x+2)\sqrt{x^2-x+1}$

$<=>3(x+1)(x^2-x+1)=0$

Nên PT có nghiệm thứ 2 là $x=-1$

Hình như nghiệm thứ 2 của bạn k đúng thì phải

Theo mình : Đặt $\large \sqrt{x^{2}-x+1}=a$

PTTT: $\large a^{2}+2x+ax+2a=0$

$\large \Leftrightarrow (a+x)(a+2)=0$

Từ đó giải ra $\large x=1 ; x=\frac{1-\sqrt{13}}{2}; x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

Ta có : ED là đường trung bình $\bigtriangleup AHB$ $\Rightarrow ED//AB \Rightarrow$ ED vuông góc AB.

Lại có AH vuông góc BC (gt)

$\Rightarrow$ E là trực tâm của $\bigtriangleup ADC$

$\Rightarrow$ CE vuông góc AD