$M= (5+2\sqrt{6})^{1004}+(5-2\sqrt{6})^{1004}=a^{1004}+b^{1004}$
Ta có: $a^{2}=10a-1; b^{2}=10b-1$
Đặt: $s_{n}=a^{n}+b^{n}$
$a^{n+2}+b^{n+2}=10.(a^{n+1}+b^{n+1})-(a^{n}+b^{n})$
$\Rightarrow s_{n+2}=s_{n+1}.10+s_{n}$
$\Rightarrow (s_{n}+s_{n+2})\vdots 10$
Tương tự $(s_{n+2}+s_{n+4})\vdots 10$
$\Rightarrow (s_{n+4}-s_{n})\vdots 10$
Ta có: $s_{0}=2; s_{1}=10$
$\Rightarrow s_{2}; s_{3}; ...s_{n}$ là các số tự nhiên và $s_{0}; s_{4}; ...s_{4n}$ có chữ số tận cùng là 2
$\rightarrow$ M là số tự nhiên và có chữ số tận cùng là 2