Tìm kiếm
Nam
Khóa ngày 17/03/2015
Vòng 1.
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Giải phương trình : $8\sin^2x\cos x-\sqrt{3}\sin x-\cos x=0$.
b) Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}2x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{2}{y}=6 \\ \left(x^2+y^2\right)\left(1+\dfrac{1}{xy}\right)^2=8 \end{array}\right.$ $\left(x,y\in \mathbb{R}\right)$.
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l}u_1=2 \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^{2015}+u_n+1}{u_n^{2014}-u_n+3} \end{array}\right.$ $\left(n\in \mathbb{N^*}\right)$.
a) Chứng minh $u_n>1,\forall n\in \mathbb{N^*}$ và $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.
b) Tìm $\displaystyle \lim \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{1}{{u_i^{2014} + 2}}}$.
Câu 3 (2,5 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và tất cả các cạnh của hình chóp có độ dài bằng $\sqrt{2}$. $M$ là một điểm trên đoạn $AO$ và $AM=x\ (0<x<1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $AD$ và $SO$.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$. Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tính diện tích của thiết diện theo $x$.
Câu 4 (1,5 điểm) Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng : $$ \frac{a}{{\sqrt {4{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} + \frac{b}{{\sqrt {4{b^2} + {c^2} + {a^2}} }} + \frac{c}{{\sqrt {4{c^2} + {a^2} + {b^2}} }} \leqslant \sqrt {\frac{3}{2}} $$
Vòng 2.
Câu 1 (2,0 điểm)
Tìm các giới hạn
a) $A = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{1 + 2 + 4 + ... + {2^n}}}{{1 + 5 + 25 + ... + {5^n}}}$.
b) $B = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {1 + 2014x} .\sqrt[3]{{1 + 2015x}} - 1}}{x}$.
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của tham số $m$ : $ 2014x^{2015}-x^3+mx^2+1=m $.
b) Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)$.
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho dãy số $\left\{\begin{array}{l} u_1=3 \\ u_{n+1}=\dfrac{2n}{n+1}u_n-\dfrac{1}{n+1} \end{array}\right.$ $\left(n\in \mathbb{N^*}\right)$
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$.
b) Tìm $n$ để $nu_n$ là số chính phương.
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tiếp tuyến chung gần $B$ của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với $(O)$ và $(O')$ tại $C$ và $D$. Qua $A$ kẻ đường thẳng song song $CD$ cắt $(O)$ và $(O')$ lần lượt tại $M$ và $N$. Các đường thẳng $BC, BD$ lần lượt cắt $MN$ tại $P$ và $Q$. Các đường thẳng $CM,DN$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng :
a) Đường thẳng $AE$ và $CD$ vuông góc với nhau.
b) Tam giác $EPQ$ cân.
Câu 5 (1,5 điểm)
Mỗi số nguyên từ 1 đến $n\ (n\geqslant 3)$ được tô bởi hai màu : xanh hoặc đỏ. Tìm số nguyên $n$ nhỏ nhất để với mọi cách tô màu, đều tồn tại ba số cùng màu lập thành cấp số cộng.
Các bạn xem bản PDF đề thi và đáp án ở đây :
Vòng 1 : 
DeHSG11QB20142015v1.pdf 152.87K
341 Số lần tải;
DaHSG11QB20142015v1.pdf 181.73K
729 Số lần tải.
Vòng 2 :
DeHSG11QB20142015v2.pdf 149.02K
306 Số lần tải;
DAHSG11QB20142015v2.pdf 179.29K
414 Số lần tải.
