LacKonKu

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

$C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+7C_{n}^{3}+...+(2^{n}-1)C_{n}^{n} = 3^{2n}-2^{n}-6480$

Từ $\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}$ ta có:

Với $x=2 \rightarrow 3^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}2+C_{n}^{2}2^{2}+...+C_{n}^{n}2^{n}$     $(1)$

Với $x=1 \rightarrow 2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}$                        $(2)$

Lấy $\left ( 1 \right )-\left ( 2 \right )$ ta có:

$3^{n}-2^{n}=C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+7C_{n}^{3}+...+\left ( 2^{n}-1 \right )C_{n}^{n}$

Do đó:

$3^{n}-2^{n}=3^{2n}-2^{n}-6480\Leftrightarrow 3^{2n}-3^{n}-6480=0\Leftrightarrow 3^{n}=81\Leftrightarrow n=4$ 

Cám ơn thầy đã thức khuya để giải bài.
Vâng, em lúng túng với bài này và đang tìm cách tiếp cận khác, PP hàm sinh chẳng hạn.

Câu đầu tổng quát thì dùng hàm sinh. Chắc chắn ra

Hay quá. Bạn giải giúp mình nhé.

Tính A =  $\frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} +...+ \frac{1}{1+2+3+...+2014}$

Ta thấy $A$ có $\left ( 2014-2 \right )+1=2013$ số hạng.

Ta xét vài số hạng đầu của $\frac{A}{2}$ để tìm ra qui luật:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.\left ( 1+2 \right )}+\frac{1}{2.\left ( 1+2+3 \right )}+\frac{1}{2.\left ( 1+2+3+4 \right )}+.....$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+....$

Hay:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+....$

Suy ra:

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+....+\frac{1}{2014.2015}$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+....+\frac{1}{2014}-\frac{1}{2015}$

$\frac{A}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2015}=\frac{2013}{2.2015}$

Vậy:

$A=\frac{2013}{2015}$

Bài toán 1: Có 10 HS khối 10, 11 HS khối 11, 12 HS khối 12. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho có mặt cả học sinh của 3 khối.

Nếu giải bài toán như sau: 

+ Chọn ra mỗi khối 1 học sinh bất kỳ: Có 10.11.12 cách.

+ Chọn 3 học sinh còn lại tùy ý trong số 30 học sinh còn lại có $C_30^3$ cách.

Vậy có $10.11.12.C_30^10$ cách.

Cách giải này có sự trùng lặp ở đâu?

Tính như  thế này sẽ bị trùng, nên sử dụng nguyên lý bù trừ để giải như sau:

 Gọi:

$S$ là tập các cách chọn 6 hs tùy ý.

$Y$ là tập các cách chọn thỏa yêu cầu đề bài.

$N_{i}$ với $i=10,11,12$ là tập các cách chọn lần lượt không có hs khối 10, 11, 12.

Như vậy ta có:

$\left | Y \right |=\left | S \right |-\left | N_{10}\cup N_{11}\cup N_{12} \right |$

Với:

$\left | N_{10}\cup N_{11}\cup N_{12} \right |=\left | N_{10} \right |+\left | N_{11} \right |+\left | N_{12} \right |-\left ( \left | N_{10}\cap N_{11} \right |+ | N_{10}\cap N_{12} \right |+ \left| N_{11}\cap N_{12} \right |)+\left | N_{10}\cap N_{11}\cap N_{12} \right |$

Trong đó:

$\left | S \right |=C_{33}^{6}$

$\left | N_{10} \right |=C_{23}^{6};\left | N_{11} \right |=C_{22}^{6};\left | N_{12} \right |=C_{21}^{6};| N_{10}\cap N_{11}|=C_{12}^{6}; | N_{10}\cap N_{12}|=C_{11}^{6}; | N_{11}\cap N_{12}|=C_{10}^{6} ;\left | N_{10}\cap N_{11}\cap N_{12} \right |=0$

Số cách chọn thỏa yêu cầu:

$\left | Y \right |=C_{33}^{6}-\left ( C_{23}^{6}+C_{22}^{6}+C_{21}^{6} \right )+\left ( C_{12}^{6}+C_{11}^{6}+C_{10}^{6} \right )$

 

Bài toán 2: Có 8 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Ghép các em nữ thành 3 nhóm mỗi nhóm 3 nữ và xếp các nhóm nữ này xen kẽ với các em nam thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao cách?

Giải bài toán này như sau:

+ Xếp 8 em nam thành vòng tròn có $7!$ cách.

+ Chia nữ thành 3 nhóm có $C_9^3.C_6^3$ cách.

Tính như vầy là có xét thứ tự của 3 nhóm, nên ta khử tính thứ tự này đi: $\frac{C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{3!}$

+ Xếp 3 nhóm nữ vào xen kẽ với 8 em nam có: $A_8^3$ cách.

+ Hoán vị 3 hs nữ trong nhóm : $3!.3!.3!$ cách.

Vậy có: $7!.\frac{C_{9}^{3}.C_{6}^{3}}{3!}.A_{8}^{3}.\left ( 3! \right )^{3}$ cách.