nguyenlocphuc

Họ tên: Nguyễn Lộc Phúc

Nick trong diễn đàn: nguyenlocphuc

Năm sinh: 1999

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THPT

Tổng quát bài hàm số

Cho $k\epsilon N$. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}^{*} \mapsto \mathbb{N}^{*}$ thoả mãn

$f(f(n)+m)= n+f(m+k)$

gọi $f$ là hàm số cần tìm

Cho $m= 1$ ta có $f(1+f(n))=n+f(2016)$

Giả sử $f(n_{1})=f(n_{2})\Rightarrow f(1+f(n_{1}))=f(1+f(n_{2}))\Rightarrow n_{1}+f(2016)=n_{2}+f(2016)\Rightarrow n_{1}=n_{2}\Rightarrow$ $f$ là đơn ánh

Cho $m= f(1)$ ta có $f(f(1)+f(n))= n+f(f(1)+2015)= n+1+f(2015+2015)= f(f(n+1)+2015)$

Suy ra $f(1)+f(n)= f(n+1)+2015\Rightarrow f(n+1)-f(n)= f(1)-2015$

Ta có $f(n+1)-f(n)= f(1)-2015$

          $f(n)-f(n-1)= f(1)-2015$

          .........

          $f(2)-f(1)=f(1)-2015$

Cộng các vế lại ta có $f(n+1)-f(1)= nf(1)-2015n\Rightarrow f(n+1)=(n+1)f(1)-2015n$

Suy ra $f(n)= n(f(1)-2015))+2015$

Cho $m= f(1), n=1$ ta có $f(2f(1))= 1+f(f(1)+2015)\Leftrightarrow 2f(1)^{2}-4030f(1)+2015=f(1)^{2}-2015^{2}+2016\Leftrightarrow f(1)=2014$ hoặc $f\left ( 1 \right )= 2016$

Suy ra $f(n)= -n+2015$ hoặc $f\left ( n \right )= n+2015$

Thử lại ta thấy $f\left ( n \right )= n+2015$ thỏa mãn bài toán

Vậy hàm số cần tìm là $f\left ( n \right )= n+2015$