dongphong

Cho $a>0,b>0$ và $(a,b)=1$.

CMR : Số nghiệm nguyên dương của phương trình : $ax+by=n$ là :

                          $\left [ \frac{n}{ab} \right ]$ hoặc $\left [ \frac{n}{ab} \right ]+1$

Ta kí hiệu $\left \lfloor x \right \rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x (Với  x\in \mathbb{R})$

Bài 1 : Nếu n là số nguyên dương thì :

                         $\left \lfloor \frac{\left \lfloor n\alpha \right \rfloor}{n} \right \rfloor=\left \lfloor \alpha \right \rfloor$

Bài 2 : Nếu n là một số nguyên dương thì :

                         $\left \lfloor \alpha \right \rfloor +\left \lfloor \alpha +\frac{1}{n} \right \rfloor+...+\left \lfloor \alpha +\frac{n-1}{n} \right \rfloor=\left \lfloor n\alpha \right \rfloor$

Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức sau 

                         $\left \lfloor 2\alpha \right \rfloor+\left \lfloor 2\beta \right \rfloor\geq \left \lfloor \alpha \right \rfloor+\left \lfloor \alpha +\beta \right \rfloor+\left \lfloor \beta \right \rfloor$

Cho $(a,b) = 1, a > 0, b > 0$

Lúc này với mọi số nguyên lớn hơn $ab - a -b$ được biểu diễn dưới dạng :

                      $ax + by (x\geqslant 0,y\geqslant 0)$

Và hơn nữa, $ab - a -b$ sẽ không thể biểu diễn dưới dạng trên.

Nguyên văn :

            Let $(a,b) = 1, a > 0, b > 0$. Then every integer greater than $ab - a -b$ is representable as $ax + by (x\geqslant 0,y\geqslant 0)$. Moreover, $ab - a -b$ is not representable as such. 

Nguồn : Introduction to Number Theory - Hua Loo Keng