Nguyenhuucan

Bạn xem ở đây.

Có phần đánh giá ở khúc cuối mình chưa hiểu lắm. Khi chuyển sang mũ {n-m}

$\frac{a}{{m + 1}}...\frac{a}{n} \le {\left( {\frac{a}{{m + 1}}} \right)^{n - m}}$

Đặt $x_n=\frac{n^n}{n!}$

 

Ta có: $$\frac{x_n}{x_{n-1}}=\left(\frac{n}{n-1} \right )^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\to e$$

 

Ta có bổ đề sau: $\lim \frac{a^n}{n!}=0$

 

Thật vậy chọn $m\in \mathbb{N^*}$ sao cho $m+1>|a|$ ta có

$$0\le |\frac{a^n}{n!}|=\frac{|a|}{1}.\frac{|a|}{2}....\frac{|a|}{m}.\frac{a|}{m+1}...\frac{|a|}{n}\le \frac{|a|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}\le \frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$$

 

Đặt $u_n=\frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$ dễ thấy $u_n\to 0$ nên $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
 

Áp dụng kết quả này ta có $\lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})=\lim \sqrt[n]{x_n}=e.$

Hay thiệt, nhưng thắc mắc một chỗ. mình dựa vào đâu để đánh giá điều này vậy mọi người.

$\frac{a}{{m + 1}}...\frac{a}{n} \le {\left( {\frac{a}{{m + 1}}} \right)^{n - m}}$

cái này dễ òm mà chủ thớt? Nhưng để cho trả lời của tôi chính xác, cho hỏi $H$ là cái gì? 

KG Hilbert

Mình đang đọc một tài liệu, ở đó tác giả đánh giá giá trị của một tích phân sau đây, nhưng mình chưa hiểu, nhờ mọi người xem giúp.

\[\int\limits_0^t {{{\left\| {u(s) - v(s)} \right\|}^2}ds \le K{{\left\| {|u - v|} \right\|}^2}} \]

Trong đó,

\[t \in \left[ {0,T} \right]\]

\[u,v \in C\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)\]

\[K = max\left\{ {T,1} \right\}\]

\[\left\| {|w - v|} \right\| = \sup \left\{ {\left\| {w(s) - v(s)} \right\|:s \in H} \right\}\]

 

Và cho hỏi thêm là  $C\left( {\left[ {0,T} \right],H} \right)$ có phải là tập hơp các hàm khả tích trên $[0,T]$ hay không?

Không ai giúp được à