Responsive Creature

a) Đặt $x^{2}=a$. Cần chứng minh: $a^{100}+a^{50} \vdots a^{2}+a+1$

Sử dụng tính chất quen thuộc: $a^{3m+1}+a^{3n+2} = a(a^{3m}-1) + a^{2}(a^{3n}-1) - (a^{2}+a+1) \vdots a^{2}+a+1$

b) $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3} = 3n^{3}+9n^{2}+15n+9= 3(x+1)(x^{2}+2x+3)$

Dễ thấy 1 trong 2 số $x+1$ và $x^{2}+2x$ chia hết cho 3.

Từ đó ta có đpcm.

Câu 5:

Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ thoả mãn a+b+c+d=0.

Chứng minh $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ca-bd)}\in Q$

Từ giả thiết $\Rightarrow d= -(a+b+c)$

 $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ca-bd)}$

$=\sqrt{(c^{2}+ab+bc+ca)(a^{2}+ab+bc+ca)(b^{2}+ab+bc+ca)}$

$=\left | (a+b)(b+c)(c+a) \right | \in Q$

Câu 4: 

Cho hình chữ nhật ABCD (AB>BC). Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC.

a. Biết AH=16cm, HB=12cm. TÍnh chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

b. Chứng minh BN$\perp$IN

 

a. $AB=\sqrt{HA^{2}+HB^{2}} = \sqrt{16^{2}+12^{2}} = 20 (cm)$

$HC=\frac{HB^{2}}{HA}=\frac{12^{2}}{16}=9(cm)$

$\Rightarrow BC = \sqrt{HB^{2}+HC^{2}} = \sqrt{12^{2}+9^{2}} = 15(cm)$

b. Lấy M là trung điểm HB. Ta có MN // BC và MN = 1/2 BC => MN = AI và MN // AI

nên AMNI là hình bình hành => AM // IN

Xét $\Delta ABN$ có BM$\perp$AN, NM$\perp$AB => M là trực tâm của $\Delta ABN$, nên AM$\perp$BN 

Suy ra BN$\perp$IN. (đpcm)

Không mất tính tổng quát, giả sử a và b không cùng chia hết cho p

Ta xét 2TH sau:

TH1: Trong a, b tồn tại một số chia hết cho p

Giả sử $ a\vdots p $  và b không chia hết cho p.

Dễ dàng thấy $ a^{2}+b^{2} $ không chia hết cho p.

TH2: Cả a và b đều không chia hết cho p

Theo định lí Fermat nhỏ, ta có: 

Bổ sung thêm 1 ý cho việc c/m câu a bài hình ngày 1:

(Do cấp THCS chưa học đường đẳng giác)

Ta có:

AH cắt (O) tại Z. Dễ dàng có được ZD // BC (cùng vuông góc với AH).

Do đó nên M cũng là điểm chính giữa cung nhỏ ZD.

$ \angle HAI = \angle ZAM = \angle ZCM = \angle DBM = \angle DAI $

Họ tên: Nguyễn Sỹ Đạt

Nick trong diễn đàn: Responsive Creature

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS & THPT

Ta có: $1 \geq \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+2} + \frac{1}{z+3} \geq \frac{9}{x+y+z+6} \Leftrightarrow x+y+z \geq 3$

$P = t + \frac{1}{t} = \frac{8t}{9} + \frac{t}{9} + \frac{1}{t} \geq \frac{8.3}{9} + 2\sqrt{\frac{t}{9}.\frac{1}{t}} \geq = \frac{8}{3}+ \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$ với $t = x+y+z$