ninh2015

Tìm x, y, z nguyên dương thỏa mãn x + 2y + 2z = xyz

Xét 2 TH

TH1: $x=1$

$\Leftrightarrow (y - 2)(z - 2) = 5$

$\Leftrightarrow (y - 2, z - 2) = (1, 5) = (5, 1) \Leftrightarrow (y, z) = (3, 7) = (7, 3)$

$\Rightarrow (x, y, z) = (1, 3, 7) = (1, 7, 3)$

TH2: $x \geq 2$

$\Leftrightarrow 2(y + z) = x(yz - 1) \geq 2(yz - 1) \Leftrightarrow y + z \geq yz - 1$

$(y - 1)(z - 1) \leq 2 \Leftrightarrow (y - 1, z - 1) = (1, 1)$ hoặc $(y - 1, z - 1) = (1, 2) = (2, 1)$

Nghiệm $(y, z) = (2, 2)$ bị loại, $(y, z) = (2, 3) = (3, 2) \Rightarrow (x, y, z) = (2, 2, 3) = (2, 3, 2)$

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^{2}}=1$

PT $\Leftrightarrow$ $(xy)^{2} + (xy)=x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

$\Leftrightarrow$ $xy(xy + 1) = (x + y)^2$

Tích của 2 số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương => PT vô nghiệm.