Chuyen Toan 2k

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a^2}{bc}=\frac{b+2c}{4b-c}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

$P=\frac{a}{\sqrt{a^2+2b^2+c^2}}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

 áp dụng cô-si ta có : $\frac{a^2}{bc}=\frac{b+2c}{4b-c}$ <=> 4a^2b=c(a^2+b^2)+2bc^2>= 2abc+2bc^2<=> a>=c

Lại có : a/căn(a^2+2b^2+c^2)=a^2/căn(a^4+2a^2b^2+a^2c^2)<= a^2/căn(a^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)=a^2/căn((a^2+b^2)(a^2+c^2))

áp dụng bu-nhi-a-cốp-xki ta có căn((a^2+b^2)(a^2+c^2))>= a^2+bc

nên a/căn(a^2+2b^2+c^2)<= a^2/(a^2+bc)

ta chứng minh với xy<=1 thì 1/(1+x^2)+1/(1+y^2)<= 2/(1+xy) <=> (x-y)^2(1-xy)>=0 đúng

đưa về một biến t=a/c là đạo hàm được rồi