on5minh

Xét hàm $f(t) = t + \sqrt{2-t^2}$ với $t \in [-1, 1]$. Ta có $f'(t) = 1 -\frac {t}{\sqrt{2-t^2}} $

Với $t\in [-1, 0]$ thì $f'(t) > 0$

Với $t\in(0,1], 2t^2 \le 2 \Leftrightarrow t^2 \le 2 - t^2\Leftrightarrow t \le \sqrt{2-t^2}$$\Leftrightarrow 1 - \frac{t}{\sqrt{2-t^2}} \ge 0$

Vậy $f'(t) \ge 0 \forall t \in [-1, 1]$, tức là $f(t)$ là hàm đơn điệu tăng trên $[-1, 1]$.

Do đó, $min = f(-1) = 0, max = f(1) = 2$

Vậy $0 \le sinx + \sqrt{2-sin^2x} \le 2$

Xét hàm $f(x) = x + ln(1-x)$ với $x \in$ [0, 1). Ta có $f'(x) = -\frac {x}{1-x} \le 0$ trong [0, 1) nên hàm $f(x)$ đơn điệu giảm trong [0, 1).

Vì $f(0) = 0$ và $f(x)$ đơn điệu giảm trong [0, 1) nên $f(x) < 0$   $\forall  x \in (0, 1)$.

$\forall n \ge1, \frac {1}{n + 1} \in (0, 1)$ nên $f(\frac {1}{n + 1}) < 0$

$\Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} + ln(1-\frac {1}{n + 1}) < 0 \Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} + ln(\frac {n}{n + 1}) < 0$

$\Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} - ln(\frac {n + 1}{n}) < 0 \Leftrightarrow \frac {1}{n + 1} < ln(1 + \frac {1}{n})$ (đpcm)