Thien Chi Hac

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

1) Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của OA;

2) Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng  AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1)              Chứng minh rằng EF song song với BC.

2)              Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng  DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN  tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn.

3)              Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

a/ HDG : Ta giải bài toán tổng quát : $1+x+x^{2}+x^{3}=p^{y}$ ; với p là số nguyên tố dạng p = 4q + 1, q lẻ.

Dễ thấy x chẵn, hơn nữa x phải có dạng x = 4k (bạn đọc tự kiểm tra)

Ta có  $\left ( 1+x \right )\left ( 1+x^{2} \right )=p^{y}\Rightarrow x^{2}+1=p^{m},x+1=p^{n};m\geq n\geq 0$

$x=p^{n}-1\Rightarrow \left ( p^{n}-1 \right )^{2}+1=p^{m}$

TH1 : m chẵn, bạn đọc tự giải.

TH2 : m lẻ, vì x = 4k nên $x^{2}\vdots 16$ , nhưng ta kiểm tra được do q lẻ  $p^{m}$  chỉ có dạng 4t (t lẻ) nên TH2 loại.

(Trở lại bài toán 1997 = 4.499 + 1)

c/ HDG : Xét  $x\neq -1;x\neq 0$ ta chỉ ra được  $\left ( 2x^{2}+x \right )^{2}< \left ( 2y+1 \right )^{2}< \left ( 2x^{2}+x+2 \right )^{2}\Rightarrow |2y+1|= 2x^{2}+x+1\Rightarrow x^{2}-2x=0$

cho mình hỏi sao lại xét $x\neq -1;x\neq 0$

thanks, nhưng mình tự làm được rồi, chỉ cần a/ và b/ thôi ( a/ làm rồi nhưng hơi dài)

trong 2011 so tu nhien tu 1 den 2011 chon ra n so bat ky doi mot phan biet (n>1) sao cho tong cua chung chia het cho 8. trong cac cach chon thoa man yeu cau tren so n lon nhat co the la bao nhieu?