NH3C00H

1. Về việc "stay at a finite dítance from teh boundary $\mathbb{C}^n$" chỉ là để nhấn mạnh là $\Omega$ là một open set, và tất cả các giá trị của $f(z)$ phải được tính với $z\in Omega$, i.e., sẽ ko có nghĩa khi tính $f(z+h)$ mà $h$ lớn để $z+h$ vượt ra khoải $\Omega$. Còn về cái giới hạn thì để ý là trong cái integral ở dòng phía trên dòng $A^n-B^n=...$, ở ngay phía trước có $\frac{1}{h}$, cho nên nó sẽ triệt tiêu với $h$ trong biể thức 

$\frac{h}{(\zeta-z-h)(\zeta-z)}[A^{n-1}+A^{n-2}B+...+B^{n-1}].$

Cho $h$ dần tới $0$ kết hợp với định nghĩa của $A$ và $B$ là sẽ ra kết quả.

2. Lý do có thể giả thiết như vậy là vì cái mà mình muốn là mình muốn chứng minh $f'n\to f$ uniformly on each compact subset of $\Omega$. Do đó, nếu ta cố định một tập compact $K$, ta có thể tìm được một tập compact $K'$ lớn hơn (tức là $K$ nằm trọn trong $K'$. Có thể làm điều này từ việc phủ các điểm của $K$ bởi các hình tròn...) và trên $K'$, $f_n\to f$ uniformly. Do đó, ta có thể giả sử là $f_n\to f$ uniformly on $\Omega$ mà ko hể thay đổi gì bài toán hết.

2'. Tất cả các tập $K$ compact trong $\Omega$ đều có một khoảng cách tới $\Omega^c$ lớn hơn $0$. Do đó, tất cả các tập compact $K\subset \Omega$ đều nằm trong $\Omega_{\delta}$ với một $\delta$ nào đó.