helloworld

Đề bài là
Suppose that n balls are tossed into n bins, where each toss is independent and the ball is equally likely to end up in any bin. What is the expected number of empty bins ? what is the Expected number of bins with exactly one ball ?

Mình tạm dịch là thế này

N quả bóng ném vào n rổ. Mỗi lần ném là độc lập và xác xuất bóng vào các rổ là bằng nhau.
1)Tìm kì vọng của các rổ không có bóng nào
2) Kì vọng của các rổ có duy nhất 1 bóng.

Mình giải thế này không biết đúng không nữa, các bạn xem giúp mình, cám ơn trước

1)
Gọi X0 là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số 0 không có quả bóng nào

E (X0) = 1 * P(X0 =1)

P (X0=1) = ((n-1)/n)^n
E(X0) = P (X0=1) = ((n-1)/n)^n

Tương tự ta có
Gọi X1 là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số 1 không có quả bóng nào
Gọi Xn là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số n không có quả bóng nào

-> có E(X0) = E(X1) =…..= E(Xn)

Kì vọng của các rổ không có quả bóng nào =
E(X0.X1…Xn) = E(X0) * E(X1) * …* E(Xn) = (((n-1)/n)^n)^n

2) Kì vọng của các rổ có duy nhất 1 bóng

Gọi Y0 là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số 0 có duy nhất 1 quả bóng
E (Y0) = 1 * P(Y0 =1)

P(Y0=1) = 1/n * ((n-1)/n)^(n-1) = ((n-1)/n)^n * 1/(n-1)

Tương tự
Gọi Y1 là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số 1 có duy nhất 1 quả bóng
Gọi Y2 là biến ngẫu nhiên cho trường hợp rổ số 2 có duy nhất 1 quả bóng
…..
-> có E(Y0) = E(Y1) = ……= E(Yn)

E(Y0.Y1…..Yn) = (((n-1)/n)^n * 1/(n-1) ) ^ n


Bài 2 Mình không hiểu đề lắm nên chưa biết làm

Suppose that balls are tossed into b bins. Each toss is independent, and each ball is equally likely to end up in any bin. What is the expected number of ball tosses before at least one of the bins contains two balls

Mình không hiểu cái đoạn "before at least one of the bins contains two balls" nghĩa là thế nào
nhất là before.

Bạn nào biết xin chỉ giúp, cám ơn nhiều nhiều