quannguyenminh103

Các anh chị, ai giỏi toán xin vào giúp em với ạ...

Problem  55) Let ABC be a triangle. Incircle (I) touches BC, CA, AB at D, E, F. M is a point on circle center A which passes though E, F.

a) Prove that pedal triangle XYZ of M wwith respect to triangle DEF is right triangle.

b) DM cuts IA at K. MI cuts EF at T. Prove that K lies on circumcircle (DEF) if only if T lies on circumcircle (XYZ).

c) M' is isogonal conjugate of M with respect to triangle DEF. Prove that M' always lies on fixed circle.

 

 

Problem  56) Let ABC be a triangle and point P. A'B'C' is pedal triangle of P with respect to triangle ABC. O is circumcircle of triangles ABC, (O') is circumcircle of triangle A'B'C'. PA', PB', PC' intersects (O') again  at A1, B1, C1, repectively. Assume that P, O O' are collinear. Prove that circumcircles (PAA1), (PBB1), (PCC1) have a common point other than P.

 

 

Problem  57) Let ABC be a triangle with circumcircle (O). A circle (K) pass though B, C intersects AB, AC at F, E, respectively. O1, O2 are circumcenter of triangle ABE, ACF, respectively. (L) is circumcircle of triangle KO1O2. P is point on (L). The line passes though P and perpendiculer to OP intersects (O) at B', C'. Prove that nine-point center of triangle AB'C' always lies on a fixed circle (J) and LJ perpendiculer to EF.

1) Tìm tất cả các đa thức P(x) thuộc R[x] thõa mãn điều kiện : 16P(x^2)=(P(2x))^2 (với mọi x thuộc R)
2)Tìm tất cả các đa thức P(x) thuộc R[x] sao cho tồn tại duy nhất đa thức Q(x) thuộc R[x] thõa mãn các điều kiện
i) Q(0)=0
ii) x + Q(y+P(x)) = y + Q(x+P(y)) (với mọi x,y thuộc R)
3) Tìm tất cả các hàm f:Z->Z thõa mãn điều kiện :
i) f(1) = 1
ii) f(m+n){f(m)-f(n)}=f(m-n){f(m)+f(n)} (với mọi số nguyên m, n)
Mọi người giúp em vs ạ. Hai ngày nữa em phải nộp rồi mà h k bik làm @@ (