linhchi2014

Tìm số nguyên tố $p, q$ sao cho $pq(n+1) = (p+q)(n^2+1)$ với $n$ là số tự nhiên.

Tìm số tự nhiên $n$ để $2^{3n-1}5^{n+1}+96$ là số chính phương

Cho a,b,c la cac so thuc duong thoa $a\geq b\geq \frac{a+c}{2}$

Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{ab}}\geq \frac{3}{2}$

Từ GT ta có $\frac{a}{b}\geq 1$ $\frac{c}{a}\leqslant 1$ $\frac{b}{c}\geqslant 1$

$đặt x=\sqrt{\frac{a}{b}};y=\sqrt{\frac{b}{c}};z=\frac{c}{a} \Rightarrow \sum \frac{x}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

đặt $m=\frac{y}{x};n=\frac{z}{y};p=\frac{x}{z}\Rightarrow \frac{1}{1+m}+\frac{1}{1+n}+\frac{1}{1+n}\geqslant \frac{3}{2}$ với  $m,p \leq $1$;$$p\geqslant 1$$ \Rightarrow \sum \frac{1}{1+m}=(m-1)(n-1)(p-1)\geq 0$ với mọi m, n, p TM điều kiện đề bài (Do viết công thức lâu quá nên giải có phần hơi tóm tắt, các bạn xem kỹ tí nhé)

Cho $a,b,c >0$ và n là số nguyên dương. CMR :

$\frac{ab^n}{c^n(c+a)}+\frac{bc^n}{a^n(a+b)}+\frac{ca^n}{b^n(b+c)} \geq \frac{a}{c+a} + \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}$

$\sum \frac{y}{z+1}\geqslant \sum \frac{1}{z+1}\Leftrightarrow y(x+1)(y+1)+z(y+1)(z+1)+x(z+1)(x+1)\geqslant (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)$$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1))^2+(z-1))^2+(x+y+z-3)+(xy^2+yz^2+zx^2-3)\geqslant 0$(ap dụng BDT CÔSI là OK)$