Ngu Vi Toan

minh co bai nay: de thi thu vao lop 10

cho a, b biet $a+b\geq 1$ va a>0

tìm min của: $\frac{8a^2+b}{4a}+b^2$

Gợi ý: $9(x-1)-(7x-8)=2x-1$ và $x=-(7x-8)+8(x-1)$

Từ đây đặt ẩn phụ rồi giải thôi.

tinh ra ko dc thi fai

Mình xin luôn đoạn đầu để nêu ý tưởng ý còn lại của mình

Áp dụng $AM-GM$ cho cả ba mẫu ta được: $xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})\leq \sum \frac{xyz}{3\sqrt[3]{x^2yz}}=\sum \frac{\sqrt[3]{x\left ( yz \right )^2}}{3}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3}\sum \sqrt[3]{yz}$

Đến đây tiếp tục sử dụng $AM-GM$ $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{yz}\leq 3(\frac{2}{9}+yz)$

Tương tự với các trường hợp còn lại, cộng theo vế rồi áp dụng bđt $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$ 

chỗ này có chút nhầm lẫn phải không ???

minh nghĩ là: $3(\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{9}}+\sqrt[3]{yz})\leq \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+yz$

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=1$ 

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2 }\leq \frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}<1$

A=  $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy}$

   =  $\frac{x^3+xyz}{x^2+yz}-\frac{xyz}{x^2+yz}+\frac{y^3+xyz}{y^2+zx}-\frac{xyz}{y^2+zx}+\frac{z^3+xyz}{z^2+xy}-\frac{xyz}{z^2+xy}$

  = $(x+y+z)-xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$

  = $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ (1)

+)cần cm: $\frac{x^{3}}{x^{2}+yz}+\frac{y^{3}}{y^{2}+zx}+\frac{z^{3}}{z^{2}+xy} < 1$

xét (1) có:$xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy})$ luôn >0 (vi x,y,z >0)

     => $1 - xyz(\frac{1}{x^2+yz}+\frac{1}{y^2+zx}+\frac{1}{z^2+xy}) <0$

=> A < 1 (dpcm)

còn 1 cái đag nghĩ ....

"Thay các giá trị 1..10 tìm được b=7 => c=4"

 

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...