conanphamtuan

 Chào các bạn VMF-ers, có lẽ đa số trong chúng ta bất đẳng thức là một dạng chuyên đề khó khăn trong việc tìm lời giải.Như chúng ta vẫn thường biết đến các bất đẳng thức cổ điển như bất đẳng thức BCS, AM-GM ,Cheybeshev, Minkowski, Holder ,........

  Bất đẳng thức Cauchy có một dạng mở rộng cũng hay được dùng trong chứng minh bất đẳng thức, đó là bất đẳng thức Holder. Song song , với bất đẳng thức Holder là bất đẳng thức Minkowski cũng không kém phần quan trọng.

   Topic mình hướng đến việc sử dụng và vận dụng 2 bất đẳng thức Minkowski và Holder trong chứng mình bất đẳng thức..

  Đây là lần đầu mình lập topic nên không tránh khỏi những sai sót, mong các bạn thông cảm và nhiệt tình ủng hộ topic.

  Để bắt đầu topic mình xin đề cập đến dạng tổng quát của bất đẳng thức Holder:

$\prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n}a_{i,j})\geq (\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}a_{i,j}})^{m}$

Đẳng thức chỉ xảy ra khi và chỉ khi m dãy đã cho tương ứng tỉ lệ

Đúng là cồng kềnh, nên mình sẽ viết tường minh dạng tổng quát như sau:

Với m bộ số n số dương

$(a_{1,1},a_{1,2},a_{1,3},...,a_{1,n}),(a_{2,1},a_{2,2},a_{2,3,...,a_{2,n}}),...,(a_{m,1},a_{m,2},a_{m,3},...,a_{m,n}).$

ta có $(\sum_{j=1}^{n}a_{1,j})(\sum_{j=1}^{n}a_{2,j})...(\sum_{j=1}^{n}a_{m,j})\geqslant (\sqrt[m]{a_{1,1}.a_{2,1}.a_{3,1}...a_{m,1}}+\sqrt[m]{a_{1,2}.a_{2,2}.a_{3,2}...a_{m,2}}+...+\sqrt[m]{a_{1,n}.a_{2,n}.a_{3,n}...a_{m,n}})^{m}$

Rõ ràng trường hợp đon giản nhất mà không tầm thường là khi m=n=2, ta có bất đẳng thức Cauchy quen thuộc.

* Dạng thường gặp nhất của bất đẳng thức Holder là $(a^3+b^3)(x^3+y^3)(\alpha ^3+\beta ^3)\geq (ax\alpha +by\beta )^3$

Bây giờ mình sẽ đề cập đến các dạng tổng quát của bất đẳng thức Minkowski

* Dạng tổng quát 1:

$\left\{\begin{matrix}a_{1},.....,a_{n}\epsilon R^{+} \\ b_{1},.....,b_{n}\epsilon R^{+} \end{matrix}\right.$

Với $1< p\epsilon Q^{+}$, ta có 

$(\sum_{i=1}^{n}a^{p}_{i})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{i=1}^{n}b^{p}_{i})^{\frac{1}{p}}\geq (\sum_{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})^{p})^{\frac{1}{p}}$

* Dạng tổng quát 2 :

$\sqrt[n]{a_{1}...a_{n}}+\sqrt[n]{b_{1}...b_{n}}\leq \sqrt[n]{(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})...(a_{n}+b_{n})}$

A co' thể tổng hợp lại tâ't cả những hệ quả Holder và Mincopxki dc k ạ. Thấy hay quá  A đừng dùng mấy ký hiệu tổng tich`1 nhé !!!