dinhkhanhly

Cách khác nè:

$\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq \frac{(2\sqrt{a})^{6}}{b^{5}}+\frac{(2\sqrt{b})^{6}}{a^{5}}=64(\frac{a^{3}}{b^{5}}+b+b)+64(\frac{b^{3}}{a^{5}}+a+a)-128(a+b)\geq 64.3.\frac{a}{b}+64.3.\frac{b}{a}-128.2\geq 64.3.2-128.2=128$

Giả sử $mp-n^{2}> 0\Leftrightarrow n^{2}< mp$.

Ta có: $ap-2bn+cm=0\Rightarrow (ap+cm)^{2}=4b^{2}n^{2}< 4acmp\Rightarrow (ap-cm)^{2}< 0$ (vô lý)

Vậy...

Đặt $x=\sqrt[4]{\dfrac{a}{b+c}}, y=\sqrt[4]{\dfrac{b}{c+a}}, z=\sqrt[4]{\dfrac{c}{a+b}}$

Khi đó $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4+2x^4y^4z^4=1$. Do đó $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2x^2y^2z^2\geqslant 1$

Từ đây suy ra $\dfrac{2x^2}{x^2+1}+\dfrac{2y^2}{y^2+1}+\dfrac{2z^2}{z^2+1}\geqslant 2$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\sum x\geqslant \sum \dfrac{2x^2}{x^2+1}\geqslant 2$

Do đó $Q\geqslant 2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=0, b=c$ và các hoán vị.

Bạn làm hơi tắt, mình chưa hiểu lắm

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB<AC. Phân giác góc BAC cắt BC tại D. Đường tròn tâm J đường kính AD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.

b) Gọi K là giao điểm thứ hai của AD và (O). Chứng minh rằng ΔABD∼ΔAKCΔABD∼ΔAKC

c) Kẻ EH vuông góc với AC tại H. Chứng minh rằng HE.AD=EA.EF

d) Hãy so sánh diện tích của tam giác ABC với diện tích của tứ giác AEKF

Đây là bài 4 của đề tuyển sinh vào THPT chuyên ĐH Vinh vòng 2 năm 2015-2016. Mình chưa biết làm câu d. Mong các bạn giúp đỡ.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, trực tâm H, đường cao AD. Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại G≠≠A. Đường tròn đường kính GH cắt (O) tại K≠≠G. S đối xứng với D qua HK. Gọi giao điểm của KG với đường tròn ngoại tiếp tam giác KDM là N, giao điểm của KH và MN là Q (M là trung điểm  của BC). CMR:

a) Đường thẳng vuông góc với SK tại S đi qua M

b) QD=QM

• Trả lời
• Lựa chọn trích dẫn
• Sửa
•  
•  

Bạn cứ giải theo 2 trường hợp này là ra:

TH1: x>1 nên bpt đúng với mọi x

TH2: $x\leq 1$

Bạn cứ bình phương 2 vế lên là được

Cho đường tròn tâm O bán kính OM. Vẽ đường trung trực  BC của OM (B,C∈(O)B,C∈(O)). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm của CH.

a) Chứng minh EFDK nội tiếp

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

bạn giải được không?

Cho $a,b,c\geq 0$ (a, b, c không đồng thời bằng 0). Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$Q=\sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[4]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{a+3b+c}+\frac{c}{a+b+3c}\geq \frac{24abc}{5(a+b)(b+c)(c+a)}$

Cho (O;R) và dây BC cố định không đi qua O. A di động trên (O;R) sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Gọi AD là đường cao và H là trực tâm của tam giác.

a) Đường thẳng chứa phân giác ngoài của góc BHC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh tam giác AMN cân.

b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của D trên BH và CH. Chứng minh OA vuông góc EF

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt phân giác trong của góc BAC tại K. Chứng minh HK luôn đi qua một điểm cố định

Không mất tính tổng quát, giả sử $xy\leq 1$

$\Rightarrow P\leq \sum \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}\leq 2\sqrt{\frac{z}{z+1}}+\frac{\sqrt{2}}{1+z}$

Mình không hiểu chỗ này lắm bạn ạ. Bạn giải thích cặn kẽ cho mình được không?

Đặt $a^{2}=2^{x}+5^{y}$

-Nếu x=0$\Rightarrow 1+5^{y}=a^{2}\Rightarrow 5^{y}=(a-1)(a+1)\Rightarrow\left\{\begin{matrix} a+1=5^{m}\\a-1=5^{n} \end{matrix}\right.(m,n\in N,m+n=y,m> n)\Rightarrow 2=5^{m}-5^{n}=5^{n}(5^{m-n}-1)$

Nếu n=0$\rightarrow 5^{m}-1=2\Rightarrow 5^{m}=3$ (vô lý)

Nếu n$\neq 0$ thì vế phải chia hết cho 5, vế trái không chia hết cho 5$\rightarrow$ loại

Tương tự, thử lần lượt x=1;2;3 để tìm nghiệm.

-Nếu x>3

  +) Với y lẻ: Đặt y=2k+1 (k$\in$N). Ta có: $a^{2}=2^{x}+5^{2k+1}\equiv 0+25^{k}.5\equiv 1^{k}.5=5$(mod 8)$\Rightarrow$$a^{2}$ không là số chính phương$\rightarrow$ loại.

  +) Với y chẵn: Đặt y=2k (k$\in$N)$\Rightarrow 2^{x}+5^{2k}=a^{2}\Rightarrow 2^{x}=(a-5^{k})(a+5^{k})\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+5^{k}=2^{b}\\ a-5^{k}=2^{c} \end{matrix}\right.(b,c\in N,b+c=x,b>c)\Rightarrow 2.5^{k}=2^{b}-2^{c}=2^{c}(2^{b-c}-1)\Rightarrow 2^{b}=2\Rightarrow b=1\Rightarrow 2^{c-1}-1=5^{k}\Rightarrow 2^{c-1}=5^{k}+1\equiv 1^{k}+1=2$ (mod 4)$\Rightarrow 2^{c-1}=2\Rightarrow c=2\Rightarrow x=2+1=3$(loại, vì x>3)