phamnam2705

Diễn đạt như bạn có vẻ chính thống hơn Nhưng dùng chữ "tiếp xúc" thì gợi hình hơn đúng không?

Mình thấy đây là một kết quả hay nên góp ý cho chỉn chu hơn thôi. Mà mình thấy "tiếp xúc" thực sự hơi mơ hồ. Ví dụ nếu D là một hình vuông chẳng hạn, thì từ một điểm bên trong hình vuông, có thể vẽ được tới 4 hình tròn tiếp xúc với biên (là 4 cạnh).

Với lại, nếu chỉ "gợi hình" theo kiểu bạn muốn thì hơi phí, vì nó có thể mở rộng cho trường hợp không gian 3 chiều, lúc này hình tròn sẽ thay bằng hình cầu, chẳng lẽ lại phải lặp lại một chứng minh mới?

- Miền liên thông có lẽ mới đúng là thuật ngữ cần dùng như bạn nói.

- Mình quên không nhắc tới đầu đề là $D$ phải đóng. Ta áp dụng luôn khái niệm đường tròn suy biến với bán kính bằng 0 trong trường hợp điểm thuộc biên.

- Tiếp xúc với biên ở đây là khoảng cách gần nhất từ một điểm bên trong tới biên, tức là $\min d(f(x_0,y_0), (x_0, y_0))$.

Vậy ý bạn có phải là thế này?

Cho $D\subset \mathbb{R}^{2}$ là một miền đóng liên thông. Với mỗi điểm $X=(x,y)\in D$, đặt $f(X)=min_{T\in \partial D} [d(X;T)]$ trong đó $\partial D$ là biên của miền D.

Chứng minh: $f:D\rightarrow R$ là hàm số liên tục trên $D$

(Sáng tác)

Cho $D \subset \mathbb{R}^2$ là một miền liên tục (tức với mọi cặp điểm $A, B$ trong $D$, kể cả biên giới, thì luôn tồn tại một đường đi "liền nét" từ $A$ tới $B$ sao cho đường đi không cắt ra ngoài $D$.)

Định nghĩa $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ như sau: Vẽ một đường tròn có tâm $(x,y)$ và bán kính $f(x,y)$ sao cho đường tròn lớn nhất có thể có và tiếp xúc với viền của $D$.

Chứng minh rằng $f(x,y)$ liên tục.

Mình mới tham gia diễn đàn, thấy bạn đề "Sáng tác" ở đầu, chắc là đề bài do bạn nghĩ ra? Theo mình thấy đề bài của bạn thật sự hay! Tuy nhiên, xin đề xuất một số thứ làm cho vấn đề sáng tỏ hơn:

- Miền liên tục bạn đề cập, có lẽ là tập liên thông trong RxR;

- Trước khi chứng minh f liên tục, cần chỉ ra f với định nghĩa đã nêu là một ánh xạ (hàm số). Ví dụ xét một điểm (x,y) thuộc biên (khi D là tập đóng, vì bạn không nói rõ D đóng hay mở) thì không thể tìm được một hình tròn tiếp xúc với biên. Nên mình đề xuất chỉ xét hàm số trên tập D trừ đi phần biên. Hoặc nếu áp hàm số trên D thì nêu riêng f(x,y)=0 với (x,y) thuộc biên;

- Theo mình, cũng nên nêu rõ khái niệm biên và tiếp xúc với biên. Bởi cần chỉ rõ rằng với một điểm (x,y) trong D, ta có thể vẽ được một vòng tròn tiếp xúc với biên. Lúc này hàm số mới xác định.

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

$$\begin{equation}\begin{split} ka+ \frac{d}{b}+ (kb+ m)ka\geqq ka+ (kb+ m)ka= abk^{2}+ k(ma+ a)\geqq abk^{2}+ k(ma+ n) \end{split}\end{equation}$$

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!

Ta có: $sinx + \sqrt{3}cosx = 2(\frac{1}{2}sinx + \frac{\sqrt{3}}{2}cosx)= 2(cos\frac{\pi }{3}sinx + sin\frac{\pi }{3}cosx)=2sin(\frac{\pi }{3}+x)$

Vậy:

VT=$4sin^{2}(\frac{\pi }{3}+x)\leq 4$, dấu "=" xảy ra khi $sin(\frac{\pi }{3}+x)=\pm 1\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{2}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \, hay \, x= \frac{-5\pi }{6}+k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\pi$     (a)

VP=$5+cos(4x+\frac{\pi }{3})\geq 5-1=4$, dấu "=" xảy ra khi $cos(4x+\frac{\pi }{3})=-1 \Leftrightarrow 4x+\frac{\pi }{3}=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$    (b)

Để VT=VP thì x phải thỏa mãn cả (a) và (b), suy ra: $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$