minhchung9a4

Cho x, y, z là các số thực thoả: $\frac{3x^2}{2}$ + $y^2$ + $z^2$ + yz = 1.

Tìm Min, Max của B = x + y + z

Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{4a^2+(b-c)^2}{2a^2+b^2+c^2}$ + $\frac{4b^2+(c-a)^2}{2b^2+c^2+a^2}$ + $\frac{4c^2+(a-b)^2}{2c^2+a^2+b^2}$ \geq 3

Trong mặt phẳng cho tập hợp S gồm 8065 điểm đôi một phân biệt mà diện tích mỗi tam giác có 3 đỉnh thuộc S không lớn hơn 1 ( quy ước nếu 3 điểm thẳng hàng thi diện tích của tam giác tạp bởi 3 điểm này bằng 0). Chứng minh rằng tồn tại tam giác T có diện tích không lớn hơn 1 chứa ít nhất 2017 điểm thuộc S ( mỗi điểm trong số 2017 điểm đó nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác T)

Cho hai đường tròn ($O_1$), ($O_2$) tiếp xúc ngoài tại M. Một đường thẳng cắt đường tròn ($O_1$) tại hai điểm phân biệt A, B và tiếp xúc với đường tròn ($O_2$) tại E ( B nằm giữa A và E). Đường thẳng EM cắt đường tròn ($O_1$) tại điểm J khác M. Gọi C là điểm thuộc cung MJ không chứa  A,B của đường tròn ($O_1$) ( C khác M và J). Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn ($O_2$) (F là tiếp điểm) sao cho các đoạn thẳng CF và MJ không cắt nhau. Gọi I là giao điểm của các đường thẳng JC và EF, K là giao điểm khác A của đường thẳng AI và đường tròn ($O_1$). Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MCFI nội tiếp và JA = JI = $ \sqrt{JE.JM} $

2) CI là phân giác ngoài tại C của $\Delta$ABC

3) K là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$BCI

Cho hình vuông ABCD và 2015 đường thẳng thoả mãn mỗ đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phân hình thang có tỉ số diện tích là $\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng: tồn tại 504 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm