hogwarts

Tìm hiểu kết quả học tập ở một lớp học, người ta thấy:

+ Hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh giỏi Toán đồng thời cùng giỏi Lý.

+ Hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh giỏi Lý đồng thời cùng giỏi Hóa.

+ Hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh giỏi Hóa đồng thời cùng giỏi Anh.

+ Hơn $\frac{2}{3}$ số học sinh giỏi Anh đồng thời cùng giỏi Toán.

Chứng minh rằng trong lớp học nói trên có ít nhất 1 học sinh giỏi cả 4 môn Toán, Lý, Hóa, Anh.

Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm GTNN của biểu thức:

$$P=\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}$$

Có n học sinh tham gia một cuộc thi học sinh giỏi Toán và mỗi học sinh giải được đúng 3 bài toán. Hai học sinh bất kì có đúng một bài toán mà cả hai cùng giải được, trong khi đó mỗi bài toán được giải bởi đúng k học sinh. Tìm tất cả các số nguyên dương n và k thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn:

$(x-1)P(x+1)-(x+1)P(x-1)=4P(x), \forall x\in \mathbb{R}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$f(f(x)+3y)=12x+f(f(y)-x); \forall x, y\in R$