OldMemories

Cần gì phải làm thế 

$p^{2}-pq-q^{3}=1\Leftrightarrow q^{3}+1=p(p-q)\Leftrightarrow (q+1)(q^{2}-q+1)=p(p-q)$

Vì $VT>0$ nên $VP>0$ suy ra $p>q$ $($*$)$

Ta có: $(p,p-q)=1$ nên xét các trường hợp sau:

- TH1: $q+1\vdots p\Rightarrow q+1 \geq p \Rightarrow q>p$ (loại vì vô lý với $($*$)$)

-TH2: $q+1\vdots p-q\Rightarrow q+1=k(p-q)$ ($k \in Z+)$

Suy ra $p \vdots k$, dễ dàng suy ra $k=1$ ,thay vào tìm ra $(p,q)=(7,3)$

-TH3: $q+1$ không chia hết cho $p$ hoặc $p-q$ suy ra $p-q\vdots q+1$

Khi đó chọn số $t \geq 2$ thỏa mãn:  $\left\{\begin{matrix} p-q=t(q+1)\\q^{2}-q+1=tp \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} p=(t+1)q+1\\ q^{2}-q+1=t(t+1)q+t (2)\end{matrix}\right.$

Từ $(2)$ suy ra $q^{2}-(t^{2}+t+1)q+(1-t)=0$

$\Delta =(t^{2}+t+1)^{2}-4(1-t)\geq 0\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3\geq 0$

Vì nghiệm $p$ là số nguyên tố nên $ t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3$ là số chính phương.

Đến giờ sử dụng phương pháp "chặn-bắt" ta có: $t^{4}+2t^{3}+t^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< t^{4}+2t^{3}+5t^{2}+4t+4\Leftrightarrow (t^{2}+t)^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< (t^{2}+t+2)^{2}\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3=(t^{2}+t+1)^{2}\Leftrightarrow t=1$ (vô lý)

Xin lỗi nhưng dòng thứ 11 thì p = (t+1)q + t chứ bạn ?

hình như đề sai rồi chọn $(a,k,p)=(3,5,7)$ vậy $3^30-1$ chia hết cho $5$ điều này vô lí 

Đề sai thật . Mình sửa ở trên rồi bạn

Thực ra bạn Trần Đức Anh chỉ đưa tên của quyển sách này và anh hxthanh là người đã tổng hợp ra 3 file trên nên mình cũng không có file chứa toàn bộ quyển sách đâu bạn Nếu cần bạn tra Google xem thử

Up lại giùm mình vs bạn ơi , link die hết rồi

TLS à

Giả sử $\left | \sqrt{ma_{m}} -\sqrt{na_{n}}\right | \leq 5$ $\forall m,n= \overline{1,2014}, m \neq n$. Lúc đó sẽ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ để $a \leq \sqrt{ma_{m}} \leq a+5$ $\forall m= \overline{1,2014}$.Vì vậy tồn tại $c \in \mathbb{N}$ để $c \leq \sqrt{ma_{m}} \leq c+6$ $\forall m= \overline{1,2014}$, hay $c^2 \leq ma_m \leq (c+6)^2$. Ta có $2014 \geq a_1 \geq c^2$ và $(c+6)^2 \geq max\left ( 1251a_{1251},1250a_{1250},1249a_{1249} \right )\geq 1249\times 3= 3747$. Dễ thấy không tồn tại $c$ thỏa mãn nên giả sử sai $\Rightarrow Q.E.D

Chỗ $(c+6)^{2}$ đấy là sao ? Mình chưa hiểu lắm