Tìm kiếm
Bí mật
Bài bạn đang nhắc tới là bài nào ? Bài đầu tiên của topic mình nghĩ là sai đề, còn với post sau, bài 1,2 thì dễ rồi nhé. Ở đây mình nêu vắn tắt hướng của bài 3.
Đề bài tương đương với việc chứng minh rằng : Nếu có một hợp của họ hữu hạn các không gian vector là một không gian vector thì phải có một không gian trong họ chứa tất cả các không gian còn lại.
Phản chứng rằng tồn tại $V_1 \cup V_2 \cup ...\cup V_n=V$ là các không gian vector và không có không gian nào chứa toàn bộ các không gian còn lại. Không mất tính tổng quát Mình có thể giả sử $V_1 \nsubseteq V_2\cup ...\cup V_n$ (vì ngược lại thì mình không xét $V_1$ nữa chỉ xét $n-1$ kgvt còn lại bài toán vẫn đc bảo toàn) (cần thiết thì quy nạp).
Lúc đó tồn tại $V_1 \nsubseteq V_2\cup ...\cup V_n$ và $ V_2\cup ...\cup V_n\nsubseteq V_1$ nên tồn tại $x\in V_1 \text{ \ } V_2\cup ...\cup V_n$ và $y \in V_2\cup ...\cup V_n \text{ \ } V_1$, $x,y\neq 0$
Lúc đó xét $x+y,x+2y,...,x+n.y\in V$. Do các số trên không thể thuộc $V_1$ (vì nếu $x+ky\in V_1$ thì $ky\in V_1$ hay $y\in V_1$ vô lí) nên chúng phải thuộc một trong các không gian $V_2,..,V_n$, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại $x+uy$ và $x+vy$ thuộc cùng một không gian, cộng trừ để suy ra $x$ thuộc không gian đó (vô lí). Tóm lại có đpcm.
=================
Chứng minh trên phải có rằng đặc số của trường mà mình đang xét là 0. Còn với đặc số hữu hạn bài toán không còn đúng nữa.
có phải đặc số khác không để cho các x+ky kia là thực sự phân biệt để mình có số phần tử nhiều hơn n không nhỉ . thanks bạn !
