Nam Antoneus

Bài 82: Cho $a,b$ là các số dương và thỏa mãn: $a^2+b^2=a+b$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=3a+2b+\frac{16}{\sqrt{a+3b}}+\frac{16}{\sqrt{3a+1}}$

$P=(a+3b+\frac{8}{\sqrt{a+3b}}+\frac{8}{\sqrt{a+3b}})+(3a+1+\frac{8}{\sqrt{3a+1}}+\frac{8}{\sqrt{3a+1}})-a-b-1$

$P\geqslant 3\sqrt[3]{(a+3b).\frac{8}{\sqrt{a+3b}}.\frac{8}{\sqrt{a+3b}}}+3\sqrt[3]{(3a+1).\frac{8}{\sqrt{3a+1}}.\frac{8}{\sqrt{3a+1}}}-a-b-1$

$P\geqslant 3.4+3.4-a-b-1=23-(a+b)$

Lại có: $(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)=2(a+b)\Leftrightarrow a+b\leq 2$

Vậy $P\geq 21$

ĐK: $-3\leq x\leq 1$

$\frac{x+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}}{1+\sqrt{1-x}}\geq \frac{-3+\sqrt{-3+3}+\sqrt{-3+8}}{1+\sqrt{1+3}}=\frac{-3+\sqrt{5}}{3}$ (do $x\geq -3$)

$\frac{x+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}}{1+\sqrt{1-x}}\leq \frac{1+\sqrt{1+3}+\sqrt{1+8}}{1+\sqrt{1-1}}=6$ (do $x\leq 1$)

Vậy min là $\frac{-3+\sqrt{5}}{3}$ và max là 6

Đặt $a=\sqrt{8+x}$ và $b=\sqrt{8-x}$.

Ta có: $(a+b)^4\leq [2(a^2+b^2)]^2=4(a^2+b^2)^2\leq 4.2(a^4+b^4)=8(a^4+b^4)$

Hay $(\sqrt[4]{8+x}+\sqrt[4]{8+x})^4\leq 8.(8+x+8-x)=128$

$\Leftrightarrow \sqrt[4]{8+x}+\sqrt[4]{8+x}\leq 2\sqrt[4]{8}$

Mình chỉ tìm được Max thôi.

Cho đường tròn $(O;2)$ dây cung $AB$ không qua tâm O. Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Biết $AB=2\sqrt{2}$, tính AM.

Cho tập hợp S = {a₁,a₂,a₃,...a₁₂} gồm 12 phần tử phân biệt. Số các tập con của S có tính chất chỉ số của mỗi phần tử trong tập con là bội của chỉ số nhỏ nhất trong tập đó là ....

Mình tính được 2¹² - 1 = 4095 nhưng lại sai