KhaiSang

Hôm nay, mình xin giới thiệu tới các bạn một bài toán đã gây tranh cãi khá nhiều trong lớp của mình, và cho đến bây giờ thì mình vẫn chưa có câu trả lời thỏa đáng, vì cả hai phép chứng minh của bài toán tuy mâu thuẫn nhau, nhưng theo nhìn nhận của mình thì chúng... đều đúng cả.

Bài toán

Cho biểu thức:

$x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}}$

Câu hỏi:

a) CMR: $x < 2$ ;

b) Tính $x$.

Giải

Thực ra bài toán sẽ không có gì đáng nói nếu kết quả hai câu hỏi rất mâu thuẫn nhau.

a) Dễ thấy: $2 < 4 \Rightarrow \sqrt{2} < 2 \Rightarrow 2 + \sqrt{2} < 4 \Rightarrow \sqrt{2 + \sqrt{2}} < 2 \Rightarrow ... \Rightarrow x < 2.$

Như vậy, câu (a) đã chứng minh thành công $x < 2$ và cách làm này được coi là đúng và trình bày trong rất nhiều sách tham khảo của những tác giả uy tín. Và cách tính $x$ của câu (b) cũng thế, trong rất nhiều sách, được coi là đúng, nhưng cho kết quả trái ngược.

b) Ta có: $x^{2} = 2 + x \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1} = -1\\ x_{2} = 2 \end{matrix}\right..$ Tuy nhiên, do x > 0 nên $x = 2$.

Theo như mình nhận thấy, cả hai phép chứng minh trên đều đúng. Liệu cách giải của một câu nào đó mắc một lỗi cơ bản của toán học chăng? Hay đối tượng gặp vấn đề lại là tính logic của toán học?