Vì $x,y,z$ thuộc đoạn [0;1] nên ta có $\left\{\begin{matrix} x\leq 1 & & \\ y+z\leq yz+1& & \\ 0\leq yz & & \end{matrix}\right.$
=> 0<x+y+z<(=) 2yz+2
$\Rightarrow\frac{1}{yz+1}\leq \frac{2}{x+y+z}=2$
Tương tự rồi cộng các bất đẳng thức lại ta thu được $P\leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Mình thấy không đúng lắm nếu thay các giá trị khi xảy ra dấu bằng thì dấu bằng sẽ có giá trị là $\frac{5}{2}$ chứ không phải là 3 .
Bài Làm
Vì 0$\leq$ x, y$\leq$ 1, $\leftrightarrow$ (1-x)(1-y)$\geq$0 <=> 1+xy $\geq$ x+y <=> $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{x+y}$
Mặt khác x+y+z=2 => x+y=2-z => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{1}{2-z}$
Ta sẽ chứng minh : $\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$
<=> 2$\leq$ (2-z)(z+1) <=> 0$\leq$ z-z2 <=> z-z2 $\geq$ 0 <=> z(z-1) $\geq$ 0 -> Đúng ( vì 0$\leq$z $\leq$ 1)
=>$\frac{1}{2-z}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ => $\frac{1}{xy+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$
CMT => $\frac{1}{xz+1}$ $\leq$ $\frac{y+1}{2}$
$\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{x+1}{2}$
=> $\frac{1}{xy+1}$ + $\frac{1}{xz+1}$ + $\frac{1}{yz+1}$ $\leq$ $\frac{z+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{x+1}{2}$ = $\frac{x+y+z+3}{2}$ = $\frac{5}{2}$
(vì x+y+z=2)
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị
Vậy maxp= $\frac{5}{2}$ khi $(a,b,c)=(1,1,0)$ và các hoán vị