Neet

xét x>y => VT>VP 

xét x<y => VT<VP 

=> x=y 

thay vào pt (2), ta có pt $(8x^{3}+1)^{^{3}}=27(4x+1)$

đặt 2x=a rồi đặt (a^3+1)/3 =b

thay vào ta sẽ được hpt : a^3=3b-1;b^3=3a-1

...=> a= b =>...

1) Đặt x=a+b-c;y=b+c-a;z=c+a-b 

=> x+y+z=a+b+c

thay vào giả thiết, ta có (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x) =3.2x.2y.2z=24xyz chia hết cho 24 

=> ... chia hết cho 24 => ĐPCm 

Ta có 2x^2+3x+2>0 => y^3>x^3

mà (x+2)^3-(x^3+2x^2+3x+2)>0 => y^3<(x+2)^3 

=> y^3=(x+1)^3 thay vào rồi bạn tự gải pt bậc 2 nhá ! 

Ta có x^2,y^2,z^2 đồng dư với 1 hoặc 0 theo mod 2,3,5=> 1 trong 3 số x,y,z chia hết cho 2,3,5

Mà (3,4,5)=1

=> xyz chia hết cho 60 

Đặt $\left ( b+c-a;a+c-b;a+b-c \right )\rightarrow \left ( x;y;z \right )$

$\Leftrightarrow$ $\sum \frac{\left ( y+z)^{2} \right )}{\left [ 4x^{2}+2\left (y+z) ^{2}\right ) \right ]}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{x^{2}}{2x^{2}+(y+z)^2}\geq \frac{1}{2}$

Cauchy-schwarz:

$\sum \frac{x^{4}}{2x^4+(xy+xz)^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2\sum x^4+\sum (xy+xz)^2}\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2\sum x^4+4\sum x^2y^2}=\frac{1}{2}$