Gaming Fenria

Từ các điều kiện đề bài ta có 0⩽a2⩽10010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :

1) a2=0a2=0 :

    Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002

2) 0<a2⩽10010<a2⩽1001 :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :

    S=a21+a22+...+a2100⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.

    Đặt f(x)=(2002−x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : S⩽f(m)S⩽f(m).

    Dấu bằng xảy ra ⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100

    Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].

    f′(x)=4x−2002f′(x)=4x−2002

    f′(x)=0⇔x=10012f′(x)=0⇔x=10012

    f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)

    f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)

    So sánh (1),(2) ⇒⇒ GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)

    Vì 2002m0=2=k−2⇒k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004

So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :

{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0