hacame

Bài 1: Lần lượt cho $n=m$; $n=0$ Ta có: $a_{2m}+a_{2m}=2(a_{2m}+a_{0})=4\left ( a_{m}+a_{m} \right ),$ suy ra $a_{2m}=4a_{m}$ và $a_{0}=0$.

Do vậy ta sẽ tính được $a_{2}=4$,$a_{4}=16$. Từ đó ta cũng có $a_{1}+a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}=10$ nên $a_{3}=9$. Ta sẽ chứng minh $a_{n}=n^{2}, \forall n\geq 1.$ 

Thật vậy sử dụng quy nạp theo $n$. Giả sử rằng $a_{i}=i^{2}$ với $i< n$.

Khi đó ta có với $m=n-1$, $n=1$ thì: $a_{n}=\frac{a_{2n-2}+a_{2}}{2}-a_{n-2}=2(n^{2}-2n+1)+2-(n^{2}-4n+4)=n^{2}.$ Do đó ta có: $a_{2017}=2017^{2}.$