Fujiko

Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn tâm (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn, qua D kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng AB tại E, nối E với O cắt cạnh BC, cạnh CA tại M và N.
1) Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh bốn điểm O,D,E,I nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh O là trung điểm MN

(xuất sứ: đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương năm học 2006-2007)

1. Tìm hai số nguyên dương x và y sao cho tổng của số này với 1 là bội của số kia.
2. Cho a và b là hai số hữu tỉ và không là số chính phương. Giả sử x$\sqrt{a}$+y$\sqrt{b}$=m với x,y là số hữu tỉ. Hãy chứng minh: m=0
(xuất xứ:đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9huyện Kim Thành, tỉnh Hải Dương)

Cho a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức sau:
$ \dfrac{x^2}{x+1}$+$ \dfrac{y^2}{y+1}$

(xuất xứ:đề thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9huyện Kim Thành, tỉnh Hải Dương)

Mấy đứa bạn cùng lớp đố mình mệnh đề này, các bạn giúp mình nhé:
Cho hình bình hành ABCD sao cho AD=AC, trung điểm BC là M.
CMR:M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC tại D. K là trung điểm AD. M là trung điểm BC. CM: ba điểm K,O,M thẳng hàng.